헤세 행렬: 두 판 사이의 차이

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:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f:= f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) \approx J\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+\frac{1}{2}\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.)
만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점 (수학)|임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f \approx \frac{1}{2}\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.
 
==이계도함수 판정==
함수 <math>f</math>의 이계도함수가 [[연속함수|연속]]일 때 헤세 행렬은 대칭행렬이므로 [[스펙트럼 정리]]에 따라 헤세 행렬을 다음과 같이 직교대각화할 수 있다.
:<math>Q(\mathbf{h}) = \mathbf{h^{T}H}(f)\mathbf{h=h^{T}Q\Lambda Q^{T}h=(hQ^{T})^{T}\Lambda Q^{T}h}</math>
<math>\mathbf{u=Q^{T}h}</math>로 두면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>Q(\mathbf{u})=\lambda_{1}u_{1}^{2}+\lambda_{2}u_{2}^{2}+...+\lambda_{n}u_{n}^{2} </math>
헤세 행렬의 고윳값의 부호에 따라 이차형식의 정부호성을 판별한다.
* 헤세 행렬의 고윳값이 모두 양수일 경우, 이차형식은 양의 정부호이고, 임계점은 극솟값이다.
* 헤세 행렬의 고윳값이 모두 음수일 경우, 이차형식은 음의 정부호이고, 임계점은 극댓값이다.
* 헤세 행렬의 고윳값에 양수와 음수가 섞여 있는 경우, 이차형식은 부정부호(indefinite)이고, 임계점은 [[안장점]]이 된다.
 
== 외부 링크 ==