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1번째 줄: [[파일:EulerPhi.svg\|섬네일\|오일러 ϕ 함수의 그래프. ϕ(1)부터 ϕ(1000)까지의 값들을 나타낸다.]] [[수론]]에서, '''오일러 파이피 함수'''(Eulerϕ函數, {{llang\|en\|Euler’s phi (totient) function}})는 [[정수환]]의 [[몫환]]의 [[가역원]]을 세는 [[함수]]이다. 즉, ''n''이 [[양의 정수]]일 때, ϕ(''n'')은 ''n''과 [[서로소 (수론)\|서로소]]인 1부터 ''n''까지의 정수의 개수와 같다. 예를 들어, 1부터 6까지의 정수 가운데 1, 5 둘만 6과 서로소이므로, ϕ(6) = 2이다. 1부터 10까지의 정수는 모두 11과 서로소이며, 11은 자기 자신과 서로소가 아니므로, ϕ(11) = 10이다. 1은 자기 자신과 서로소이므로, ϕ(1) = 1이다. == 정의 == 양의 정수 <math>n</math>의 오일러 파이피 함수 값 <math>\phi(n)</math>은 다음과 같이 정의된다. :<math>\phi(n)=\|(\mathbb Z/(n))^\times\|=\|\{k\in\{1,\dots,n\}\colon\gcd\{k,n\}=1\}\|</math> 여기서 <math>(\mathbb Z/(n))^\times</math>은 [[몫환]] <math>\mathbb Z/(n)</math>의 [[가역원군]]이며, <math>\gcd</math>는 [[최대 공약수]]이다. 10번째 줄: == 성질 == === 값 === 1부터 80까지의 오일러 파이피 함수 값은 다음과 같다. {{OEIS\|A000010}} {\| class="wikitable" 35번째 줄: === 항등식 === 오일러 파이피 함수는 [[곱셈적 함수]]다. 즉, 만약 두 정수 <math>m,n</math>이 서로소라면, 다음이 성립한다. :<math>\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)</math> 오일러 파이피 함수 값은 [[소인수]]를 통해 다음과 같이 구할 수 있다. 이를 '''오일러 곱 공식'''({{llang\|en\|Euler product formula}})이라고 한다. :<math>\phi(n)=n\prod_{p\mid n}(1-1/p)</math> 특히, 소수 <math>p</math>의 거듭제곱 <math>p^k</math>의 오일러 피 함수 값은 45번째 줄: 이다. 오일러 파이피 함수를 통해 [[항등 함수]]를 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이는 [[레온하르트 오일러]]가 증명하였다. :<math>\sum_{d\|n} \phi(d)=n</math> 또한, 다음이 성립한다. 55번째 줄: == 응용 == 오일러 파이피 함수는 수학의 다양한 분야에서 등장한다. 예를 들어, [[군론]]에서는 [[순환군]] <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math>의 가능한 생성원(generator)의 수는 <math>\phi(n)</math>이다. 이는 <math>n</math>과 서로소인 임의의 수를 사용하여 <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math>를 생성할 수 있기 때문이다. 또한, [[정다각형\|정''n''각형]]이 [[작도 가능한 다각형]]인지, 즉 [[컴퍼스와 자 작도\|눈금없는 자와 컴퍼스]]만으로 작도할 수 있는지는 <math>\phi(n)</math>이 2의 [[거듭제곱]]수인지와 [[동치]]이다. 즉, 63번째 줄: 이므로 정''n''각형을 작도할 수 있지만, 다른 값의 경우에는 작도할 수 없다. 특히, ''n''이 [[소수 (수론)\|소수]]인 경우를 [[페르마 소수]]라고 한다. 오일러 파이피 함수는 [[암호학]]의 [[RSA 암호]]에서도 핵심적인 역할을 한다. == 같이 보기 ==

오일러 피 함수: 두 판 사이의 차이