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* 프레셰 공간은 특별한 [[완비 거리 공간]]의 구조를 가질 수 있는 [[국소 볼록 공간]]이다.
* 프레셰 공간은 그 위상이 특별한 반노름들이 족으로 유도될 수 있는 [[위상 벡터 공간]]이다.
첫 정의는 더 간단하며 직관적이지만, 실제 정리들을 증명하기 위해서는 둘째 정의가 더 유용하다.
첫 정며 직관적이지만, 실제 정리들을 증명하기 위해서는 둘째 정의가 더 유용하
=== 거리 함수를 통한 정의 ===
다음 조건을 만족시키는 [[국소 볼록 공간]] <math>X</math>를 '''프레셰 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math>의 위상은 평행 이동 불변(translation-invariant) [[거리 함수]]로부터 유도될 수 있다. 또한, 이 거리 함수에 대하여 <math>X</math>는 [[완비 거리 공간]]이다.
이 정의에서, 거리 함수 자체는 프레셰 공간을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.
=== 반노름을 통한 정의 ===
[[실수 벡터 공간]] <math>X</math> 위에, [[반노름]]들의 집합
:<math>\|\cdot\|_i\colon X \to [0,\infty)\qquad(i\in I)</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B</math>로서 <math>X</math>를 [[위상 벡터 공간]]으로 만들 수 있다.
:<math>\mathcal B = \left\{ \bigcap A \colon A \subseteq \mathcal S,\; |A| < \aleph_0 \right\}</math>
:<math>\mathcal S = \left\{ \{x\in X\colon \|x-y\|_i < \epsilon\} \colon \epsilon \in \mathbb R^+,\; y\in X,\;i\in I\right\}</math>
이 반노름 집합에 대하여 다음과 같은 세 조건들을 고려할 수 있다.
* ㈎ <math>I</math>로 유도되는 위상 공간은 [[하우스도르프 공간]]이다. 즉, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 만약 <math>\forall i\in I\colon \|x\|_i = 0</math>이라면, <math>x = 0</math>이다.
* ㈏ <math>I</math>는 [[가산 집합]]이다.
* ㈐ <math>I</math>로 유도되는 위상에서, 모든 [[코시 열]]이 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>\forall\epsilon>0\forall i\in I\exists N\in\mathbb N\forall m,n\ge N\colon \|x_m-x_n\|_i < \epsilon</math>이라면, <math>\exists x\in X\forall \epsilon>0\forall i\in I\exists N\in\mathbb N\forall n\ge N\colon \|x_n-x\|_i<\epsilon</math>이다.
만약 [[위상 벡터 공간]] <math>X</math>의 위상이 ㈎를 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, <math>X</math>는 [[국소 볼록 공간]]이다. 만약 <math>X</math>의 위상이 ㈎·㈏·㈐를 모두 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, <math>X</math>를 '''프레셰 공간'''이라고 한다.
프레셰 공간은 오직 [[위상 벡터 공간]]의 구조만 갖추고 있고, [[반노름]]을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 [[반노름]]들로 유도될 수 있는 [[위상 벡터 공간]]이지만, 일련의 반노름을 갖추지는 않는다.
=== 정의 사이의 관계 ===
프레셰 공간 <math>X</math>의 위상을 정의하는 [[가산 집합|가산]] 개의 반노름의 열 <math>\|-\|_{k\in\mathbb N}</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math> 위에 다음과 같은 평행 이동 불변 [[완비 거리 공간|완비]] [[거리 함수]]를 줄 수 있다.
:<math>d(x,y) = \sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\frac{\|x-y\|_k}{1+\|x-y\|_k} \qquad (\forall x, y \in X)</math>
이는 원래 반노름의 열과 같은 위상을 유도하며, 정의에 따라 자명하게 평행 이동 불변이다. 위 공식은 다음과 같은 단계로 유도되었다.
# 함수 <math>a \mapsto a/(1+a)</math>는 구간 <Math>[0,\infty)</math>를 <math>[0,1)</math>에 전단사로 대응시키며, 순서를 보존한다.
# 따라서, 각 반노름들에 위 연산을 취하여, <math>d_k(x,y) = \|x-y\|_k / (1+\|x-y\|_k) \in [0,1)</math>을 정의한다.
# 이 반노름들을 모두 더하면, 반노름 집합과 같은 위상을 유도하는 [[거리 함수]]를 구성할 수 있다. 이 경우, 합이 항상 수렴하게 하기 위하여, 계수 <math>2^{-k}</math>를 삽입한다.
== 성질 ==
프레셰 공간은 [[바나흐 공간]]의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 [[거리 공간]] 또는 [[반노름]]의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다.
프레셰 공간의 경우 [[함수해석학]]의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, [[한-바나흐 정리]], [[열린 사상 정리 (함수해석학)|열린 사상 정리]], [[균등 유계성 원리]] 등이 성립한다. 다만, 프레셰 공간에서는 ([[바나흐 공간]]과 달리) [[역함수 정리]]가 일반적으로 성립하지 않는다.
== 예 ==
모든 [[바나흐 공간]]은 (자명하게) 프레셰 공간이다. 즉, 이 경우 하나의 (반)노름으로 위상이 정의된다.
=== 매끄러운 함수 공간 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
또한, <math>M</math> 속에 다음 조건을 만족시키는 [[콤팩트 집합]]의 열 <math>(K_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 존재한다고 하자.
:<math>M = K_0 \cup K_1 \cup K_2 \cup \dotsb</math>
그렇다면, <math>l\in\{0,1,\dotsc,\infty\}</math>에 대하여, <math>l</math>번 미분 가능한 [[매끄러운 단면]]의 집합
:<math>\Gamma^l(E)</math>
은 실수 프레셰 공간을 이룬다.
구체적으로, 다음의 데이터를 임의로 고르자.
* <math>E</math>의 [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla</math>
* <math>M</math>의 [[리만 계량]] <math>g</math>
* <math>E</math>의 [[양의 정부호]] 계량 <math>\eta</math>
그렇다면, <math>\Gamma^\infty(E)</math> 위에 다음과 같은 반노름들을 줄 수 있다.
:<math>\left(\|s\|_{n,k}\right)^2 = \sup_{y\in K_n} \eta_{ab} g^{i_1j_1}g^{i_2j_2} \dotsm g^{i_kj_k}(\nabla_{i_1}\nabla_{i_2} \dotsm \nabla_{i_n}s^a)(\nabla_{j_1}\nabla_{j_2} \dotsm \nabla_{j_n}s^b)\qquad\forall n\in\mathbb N,\;k\in\mathbb N</math>
이를 통해 <math>\Gamma^l(E)</math>는 프레셰 공간을 이룬다. 또한, 그 프레셰 공간 구조는 위에서 임의로 고른 데이터에 의존하지 않는다.
특히, 만약 <math>(M,g)</math>이 [[완비 리만 다양체]]일 경우, 임의의 점 <math>x\in M</math>에 대하여 다음과 같이 콤팩트 집합의 열을 고를 수 있다.
:<math>K(x,n) = \{y\in M\colon d_g(x,y) \le n\} \qquad(n\in\mathbb N)</math>
여기서 <math>d_g \colon M \times M \to [0,\infty)</math>는 [[리만 계량]] <math>g</math>로 유도되는 [[거리 함수]]이다.
특히, 만약 <math>E</math>가 자명한 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간 <math>\mathcal C^\infty(M, \mathbb R^n)</math>은 프레셰 공간이다.
=== 정칙 함수 공간 ===
[[복소평면]] 위의 [[정칙 함수]] <math>f \colon \mathbb C \to \mathbb C</math>의 집합 위에 다음과 같은 반노름을 부여하자.
:<math>\|f\|_n = \sup_{|z|\le n} |f(z)|</math>
그렇다면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.
=== 수열 공간 ===
<math>B</math>가 [[바나흐 공간]]이라고 하자. 모든 <math>B</math> 값의 [[수열]]의 공간
:<math>B^{\mathbb N}</math>
위에 다음과 같은 반노름들을 부여하면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.
:<math>\|a\|_n = \|a_n\|_B</math>
이 [[위상 벡터 공간]]에서, 수렴은 성분별 수렴이다.
=== 역함수 정리의 실패 ===
[[매끄러운 함수]]들의 프레셰 공간
:<math>X = \mathbb C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)</math>
을 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 함수를 생각할 수 있다.
:<math>T \colon X \to X</math>
:<math>T \colon f \mapsto \exp \circ f</math>
이 경우, 임의의 <math>f\in X</math>에서,
:<math>\mathrm DT|_f \colon X \to X</math>
:<math>\mathrm DT|_f \colon g \mapsto \lim_{\epsilon\to0}\frac{\exp(f+\epsilon g)-\exp(f)}\epsilon = \exp(f)g</math>
이다. 임의의 <math>f\in X</math> 및 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여 <math>\exp(f(x)) \ne 0</math>이므로, <math>T</math>는 모든 <math>f\in X</math>에서 미분 가능 함수이며, 그 미분은 가역 선형 변환이다.
<math>T</math>의 [[치역]]은 다음과 같이, 치역이 양의 실수로만 구성되는 [[매끄러운 함수]]들의 집합이다.
:<math>\operatorname{im}T = \{f\in X\colon \forall x\in \mathbb R\colon f(x)>0\}</math>
그런데 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]는
:<math>B_{f,n,N,\epsilon} = \left\{g\in X\colon \max_{k\le N}\max_{-n\le x\le n} |f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)| < \epsilon \right\}\qquad(\epsilon\in\mathbb R^+,\;f\in X,\;n,N\in\mathbb N)</math>
와 같은 꼴의 집합들로 구성되므로, <math>X</math>의 [[열린집합|열린 집합]] 가운데 <math>T</math>의 [[치역|치 역]] 의 부분 집합인 것은 [[공집합|공 집 합]] 밖에 없다.
== 역사 ==
[[모리스 르네 프레셰]]의 이름을 땄다.
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Fréchet space}}
* {{매스월드|id=FrechetSpace|title=Fréchet space}}
* {{nlab|id=Fréchet space}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/135189/intuition-for-failure-of-implicit-function-theorem-on-frechet-manifolds|제목=Intuition for failure of Implicit Function theorem on Frechet Manifolds|출판사=Math Overflow|언어=en}}
{{함수 해석학}}
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