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1번째 줄: [[확률론]]에서, '''누적 분포 함수'''(累積分布函數, {{llang\|en\|cumulative distribution function}}, 약자 {{lang\|en\|'''cdf'''}})는 ~~어떤 [[확률 분포]]에 대해서,~~주어진 [[확률 변수]]가 특정 값보다 작거나 같은 ~~확률을 나타낸다. 수식으로 나타내면,~~ [[실수확률]]을 ~~범위를~~나타내는 ~~가지는 확률 변수 <math>X</math>의 누적 분포 함수는~~함수이다. ~~:<math>F_X (x) = P(X \leq x)</math>~~ ~~가 된다. 확률 변수의 종류가 확실할 경우에는 아랫 부분 첨자를 생략해 <math>F(x)</math>와 같이 표기하기도 한다.~~ == 정의 == 확률 변수가 여러 개일 경우에도 비슷한 방법으로 누적 분포 함수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 두 확률 변수 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대한 누적 분포 함수 <math>F_{X,Y}</math>는 다음과 같다. [[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math>와 [[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위의 [[보렐 가측 공간]] <math>(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> 사이의 [[확률 변수]] <math>X\colon\Omega\to\mathbb R</math>의 '''누적 분포 함수''' <math>F_X\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 다음과 같다. ~~::<math>F_{X,Y} (x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)</math>~~ :<math>F_X(x)=\operatorname{Pr}(X\in(-\infty,x])\qquad(\forall x\in\mathbb R)</math> == 성질 == [[확률 변수]] <math>X</math>가 구간 <math>(a,b]</math>에 속할 확률은 누적 분포 함수 <math>F_X</math>를 통해 :<math>\operatorname{Pr}(X\in(a,b])=F_X(b)-F_X(a)</math> 와 같이 나타낼 수 있다. <math>X</math>가 특정 실수 <math>x</math>를 취할 확률은 :<math>P\operatorname{Pr}(X=x) = FF_X(x) - ~~F(x-) = F(x) -~~ \lim_{x y\to ax^-0} F(ay)</math>▼ 이다. === 필요 충분 조건 === 함수 <math>F\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. * <math>F</math>는 어떤 [[확률 변수]]의 누적 분포 함수이다. * <math>F</math>는 [[증가 함수]]이자 [[우연속 함수]]이며, 또한 <math>\textstyle\lim_{x\to-\infty}F(x)=0</math>, <math>\textstyle\lim_{x\to\infty}F(x)=1</math>이다. === 이산 확률 변수와 연속 확률 변수 === [[파일:Discrete probability distribution illustration.png\|섬네일\|이산 확률 분포, 연속 확률 분포, 이산적인 부분과 연속적인 부분이 모두 존재하는 분포에 대한 각각의 누적 분포 함수]] [[확률 변수]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. * <math>X</math>는 [[이산 확률 변수]]이다. * <math>\textstyle\sum_{x\in\mathbb R}(F_X(x)-F_X(x^-))=1</math> 특히, 만약 <math>F_X</math>가 [[계단 함수]]라면, <math>X</math>는 [[연속 확률 변수]]이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. [[확률 변수]] <math>X</math>가에 ~~특정한~~대하여, 값다음 범위두 ~~<math>(a,b]</math>에~~조건이 속할서로 ~~확률은~~[[동치]]이다. * <math>X</math>는 [[연속 확률 변수]]이다. ~~:<math>P(a < X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = F (b) - F (a)</math>~~ * <math>F_X</math>는 [[연속 함수]]이다. ~~가 된다.~~ 특히, 만약 <math>F_X</math>의 [[도함수]] <math>f_X</math>가 존재한다면, 이를 <math>X</math>의 '''[[확률 밀도 함수]]'''라고 한다. 임의의 누적 분포 함수는 [[이산 확률 변수]]의 누적 분포 함수와 [[연속 확률 변수]]의 누적 분포 함수의 [[아핀 결합]]으로 나타낼 수 있다. [[연속 확률 분포]]의 확률 밀도 함수는 [[연속]]이다. 또한 확률 밀도 함수가 모든 점에서 [[미분]]이 가능할 경우 이 확률 분포에는 [[확률 밀도 함수]] <math>f(x)</math>가 존재하고, ~~:<math>f(x) = \frac{d}{dx} F(x)</math>~~ ~~가 성립한다.~~ == 참고 문헌 == ~~확률 변수 <math>X</math>의 값이 <math>x</math>가 될 확률인 <math>P(X=x)</math>는 다음과 같이 구할 수 있다.~~ * {{서적 인용 ▲:<math>P(X=x) = F(x) - F(x-) = F(x) - \lim_{x \to a-0} F(a)</math> \|성1=Athreya \|이름1=Krishna B. \|성2=Lahiri \|이름2=Soumendra N. \|제목=Measure Theory and Probability Theory \|언어=en \|총서=Springer Texts in Statistics \|출판사=Springer \|위치=New York, NY \|날짜=2006 \|isbn=978-0-387-32903-1 \|issn=1431-875X \|doi=10.1007/978-0-387-35434-7 }} [[분류:확률론]]

누적 분포 함수: 두 판 사이의 차이