누적 분포 함수: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math>와 [[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위의 [[보렐 가측 공간]] <math>(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> 사이의 [[확률 변수]] <math>X\colon\Omega\to\mathbb R</math>의 '''(우연속) 누적 분포 함수''' <math>F_X\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 다음과 같다.
:<math>F_X(x)=\operatorname{Pr}(X\in(-\infty,x])\qquad
보다 일반적으로, [[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math>와 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위의 [[보렐 가측 공간]] <math>(\mathbb R^n,\mathcal B(\mathbb R^n))</math> 사이의 [[확률 벡터]] <math>X=(X_1,\dots,X_n)</math>의 '''(우연속) 누적 분포 함수''' <math>F_X\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>는 다음과 같다.
:<math>F_X(x_1,\dots,x_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in(-\infty,x_1],\dots,X_n\in(-\infty,x_n])\qquad\forall(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n</math>
위 정의에 등장하는 닫힌구간들을 열린구간으로 대체하면 '''좌연속 누적 분포 함수'''의 정의를 얻는다.
== 성질 ==
=== 필요 충분 조건 ===▼
함수 <math>F\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.▼
* <math>F</math>는 어떤 [[확률 변수]]의 누적 분포 함수이다.▼
* <math>F</math>는 [[증가 함수]]이자 [[우연속 함수]]이며, 또한 <math>\textstyle\lim_{x\to-\infty}F(x)=0</math>, <math>\textstyle\lim_{x\to\infty}F(x)=1</math>이다.▼
보다 일반적으로, 함수 <math>F\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>F</math>는 어떤 [[확률 벡터]]의 누적 분포 함수이다.
* 다음 네 조건을 만족시킨다.
** 만약 <math>x,y\in\mathbb R^n</math>이며 <math>x_i\le y_i\forall i\in\{1,\dots,n\}</math>이라면, <math>\textstyle\sum_{t\in\{x_1,y_1\}\times\cdots\times\{x_n,y_n\}}(-1)^{|\{i\colon t_i=x_i\}|}F(t)\ge 0</math>
** 임의의 <math>x\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>\textstyle\lim_{y_1\to x_1^+,\dots,y_n\to x_n^+}F(y)=F(x)</math>
** 임의의 <math>x\in\mathbb R^n</math> 및 <math>i\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>\textstyle\lim_{y_i\to-\infty}F(x_1,\dots,y_i,\dots,x_n)=0</math>
** <math>\textstyle\lim_{x_1\to\infty,\dots,x_n\to\infty}F(x)=1</math>
이 경우 만약 <math>x,y\in\mathbb R^n</math>이며 <math>x_i\le y_i\forall i\in\{1,\dots,n\}</math>이라면, <math>F(x)\le F(y)</math>임을 보일 수 있다.
=== 확률 변수로 유도된 측도와의 관계 ===
[[확률 변수]] <math>X</math>가 구간 <math>(a,b]</math>에 속할 확률은 누적 분포 함수 <math>F_X</math>를 통해
:<math>\operatorname{Pr}(X\in(a,b])=F_X(b)-F_X(a)</math>
와 같이 나타낼 수 있다. <math>X</math>가 특정 실수 <math>x\in\mathbb R</math>를 취할 확률은
:<math>\operatorname{Pr}(X=x)=F_X(x)-\lim_{y\to x^-}F(y)</math>
이다.
보다 일반적으로, [[확률 벡터]] <math>X=(X_1,\dots,X_n)</math>가 <math>(a_1,b_1]\times\cdots\times(a_n,b_n]</math>에 속할 확률은
▲=== 필요 충분 조건 ===
:<math>\operatorname{Pr}(X_1\in(a_1,b_1],\dots,X_n\in(a_n,b_n])=\sum_{t\in\{a_1,b_1\}\times\cdots\times\{a_n,b_n\}}(-1)^{|\{i\colon t_i=a_i\}|}F_X(t)</math>
▲함수 <math>F\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
이며, <math>x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n</math>을 취할 확률은
▲* <math>F</math>는 어떤 [[확률 변수]]의 누적 분포 함수이다.
:<math>\operatorname{Pr}(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\lim_{y_1\to x_1^-,\dots,y_n\to x_n^-}\sum_{t\in\{y_1,x_1\}\times\cdots\times\{y_n,x_n\}}(-1)^{|\{i\colon t_i=y_i\}|}F_X(t)</math>
▲* <math>F</math>는 [[증가 함수]]이자 [[우연속 함수]]이며, 또한 <math>\textstyle\lim_{x\to-\infty}F(x)=0</math>, <math>\textstyle\lim_{x\to\infty}F(x)=1</math>이다.
이다.
=== 이산 확률 변수와 연속 확률 변수 ===
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임의의 누적 분포 함수는 [[이산 확률 변수]]의 누적 분포 함수와 [[연속 확률 변수]]의 누적 분포 함수의 [[아핀 결합]]으로 나타낼 수 있다.
{{-}}
== 참고 문헌 ==
줄 47 ⟶ 69:
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
}}
== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Distribution function}}
* {{매스월드|id=DistributionFunction|제목=Distribution function}}
[[분류:확률론]]
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