크로네커 델타: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
'''크로네커 델타''' δ<sub>ij</sub>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\delta_{ij} =
1 &
0 &
다시말하면, 이 함수는 두 개의 변수가 같은 값을 가지면 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 된다. 예를 들어, δ<sub>12</sub> = 0, δ<sub>33</sub> = 1 이다.
특별한 경우에 변수가 하나인 경우에는 흔히 다음과 같이 크로네커 델타 δ<sub>i</sub>를 정의한다.
:<math>\delta_{i} = \delta_{i0} = \begin{cases}
▲:<math>\delta_{i} = \left\{\begin{matrix}
좀 더 많은 성분을 가진 텐서에 대해서도 비슷한 성질을 갖는 아래의 텐서를 생각할 수 있다.▼
▲1 & \mbox{if } i=0 \\
:<math>\delta^{j_1 j_2 \
▲0 & \mbox{if } i \ne 0 \end{matrix}\right.</math>
이 텐서는 다음과 같이 정의된다.
* 만약 <math>(i_1,i_2,\dotsc,i_n)</math>이 <math>(j_1,j_2,\dotsc,n)</math>의 [[순열]]이 아니라면, 일반화 크로네커 델타의 값은 0이다.
* 만약 <math>(i_1,i_2,\dotsc,i_n)=(\sigma(j_1),\sigma(j_2)\dotsc,\sigma(j_n))</math>이라면, <math>\delta^{j_1\dotso j_n}_{i_1\dotso i_n}=(-)^\sigma \in \{\pm1\}</math>이다.
==
크로네커 델타의 가장 중요한 성질은 다음과 같이 임의로 합을 하면, 특정한 지표 i ∈ ℤ ([[정수]])를 골라낼 수 있다는 성질이다.
:<math>\sum^\infty _{j=-\infty} \delta_{ij} a_j = a_i</math>
이 성질은 [[디랙 델타 함수]]와 매우 비슷한 성질이기 때문에 흔히 크로네커 델타를 이산적인 경우의 델타 함수라고 하기도 한다.
또한, [[직교좌표계]]에서의 성분끼리의 미분도 크로네커 델타로 표현된다.
:<math>{\partial x_i \over \partial x_j} = \delta_{ij}</math>
=== 선형대수학적 성질 ===
이 (1,1) 텐서를 이용해 나타낼 수 있는 것들에는 다음과 같은 것들이 있다. (여기 아래에선 [[아인슈타인 표기법]]을 사용)
줄 38 ⟶ 40:
: <math>\vec{a} \cdot \vec{b} = \delta^i _j a_i b^j</math>
=== 선적분을 통한 표현 ===
다음의 [[잉여]] 계산을 통해
줄 53 ⟶ 55:
:<math> \delta_{mn} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(m-n)\varphi} d\varphi,</math>
== 응용 ==
▲좀 더 많은 성분을 가진 텐서에 대해서도 비슷한 성질을 갖는 아래의 텐서를 생각할 수 있다.
▲:<math>\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = \prod_{k=1}^n \delta^{i_k} _{j_k}.</math>
▲== 신호처리에서의 크로네커 델타 ==
[[디지털 신호 처리]] 분야에서는, 위와 같은 개념을 ℤ 에서 정의된 함수로 나타낸다.
▲\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}</math>
이 함수를 '임펄스', 혹은 '단위 임펄스'라고 부른다. 어떤 신호 처리 장치에 임펄스가 입력으로 주어졌을때, 출력으로 나오는 것을 [[임펄스 응답]]이라고 한다.
== 같이 보기 ==
* [[
* [[디랙 델타 함수]]
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