"순환군"의 두 판 사이의 차이

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[[군론]]에서, '''순환군'''(循環群, {{llang|en|cyclic group}})은 하나의 원소에 의하여 생성되는 [[군 (수학)|군]]이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정 원소의 거듭제곱이다. [[가법군아벨 군]]의 연산을 덧셈으로 표기할 경우 이는 모든 원소는원소가 어떤 고정고정된 원소의 정수배이다정수배라는 조건이 된다.
 
== 정의 ==
[[군 (수학)|군]]의 원소 <math>g\in G</math>가 생성하는 '''순환군''' <math>\langle g\rangle</math>은 다음과 같다.
:<math>\langle g\rangle=\{g^n\colon n\in\mathbb Z\}=\{\dots,g^{-2},g^{-1},1,g,g^2,\dots\}\le G</math>
또는
:<math>\langle g\rangle=\{g^n\colon n\in\mathbb Z\}=\{\dots,g^{-2},g^{-1},g^{0},g^1,g^2,\dots\}\le G</math>
 
:<math>\mathbb Z</math>는 [[정수]]
=== 차수 ===
군 <math>G</math>의 '''차수'''(次數, {{llang|en|order}},ord) 또는 '''위수'''(位數)는 집합으로서의 [[집합의 크기|크기]] <math>|G|</math>는 [[집합의 크기]]를 뜻한다.
 
군의 원소 <math>g\in G</math>의 '''차수''' <math>\operatorname{ord}g</math>는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 [[항등원]]이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
** 증명: 우선, <math>G/\langle b\rangle=\langle a\langle b\rangle\rangle\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\times(B/\langle b\rangle)=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle</math>이므로, <math>G=\langle a\rangle B</math>이다. 또한, <math>(\langle a\rangle\cap B)/\langle b\rangle\subseteq(\langle a\rangle/\langle b\rangle)\cap(B/\langle b\rangle)=\{\langle b\rangle\}</math>이므로, <math>\langle a\rangle\cap B\subseteq\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=1</math>이며, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>이다.
{{증명 끝}}
 
==함께보기==
*[[실로우 정리]]
 
== 외부 링크 ==