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3번째 줄: {{대수 구조\|expanded=군}} [[추상대수학]]에서, '''군'''(群, {{llang\|en\|group}})은 [[결합 법칙]]과 [[항등원]]과 각 원소의 [[역원]]을 가지는 [[이항 연산]]을 갖춘 [[대수 구조]]이다. [[모노이드]]의 특수한 경우이다. 수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 '''[[군론]]'''(群論, {{llang\|en\|group theory}})이라고 한다. 역사적으로 군론은 [[대수 방정식]] ~~이론과~~이론, [[기하학]]과, [[수론]]에서 기원한다.<ref name="Rotman" />{{서적 인용▼ [[추상대수학]]에서, '''군'''(群, {{llang\|en\|group}})은 [[결합 법칙]]과 [[항등원]]과 각 원소의 [[역원]]을 가지는 [[이항 연산]]을 갖춘 [[대수 구조]]이다.<ref>{{매스월드\|id=Group\|title=Group}}</ref> 여기서 대수 구조는 일련의 [[연산 (수학)\|연산]]을 갖춘 [[집합]]으로 정의되며,<ref name="BS">{{서적 인용\|성=Burris\|이름=Stanley N.\|공저자=Hanamantagouda P. Sankappanavar\|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html\|날짜=1981\|제목=A course in universal algebra\|출판사=Springer\|zbl=0478.08001\|mr=0648287 \|isbn=978-1-4613-8132-7\|총서=Graduate Texts in Mathematics\|issn=0072-5285\|권=78\|언어=en}}</ref> 결합 법칙은 괄호를 넣는 방식이 연산 결과에 영향을 주지 않음을 의미한다.<ref>{{서적 인용\|저자1=赵春来\|저자2=徐明曜\|연도=2008\|제목=抽象代数I\|출판사=北京大学出版社\|isbn=978-7-301-14168-7\|쪽=3}}</ref> [[항등원]]은 곱셈의 1 또는 덧셈의 0과 같은 성질의 원소이며, 역원은 곱셈에서의 [[역수]] 또는 덧셈에서의 [[덧셈 역원\|반수]]와 같다. \|성=Rotman \|이름=Joseph J. 군은 각 원소가 역원을 가지는 [[모노이드]]로 정의될 수도 있다. 여기서 모노이드는 결합 법칙과 항등원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조를 말한다.<ref>{{eom\|title=Monoid}}</ref> \|제목=A First Course in Abstract Algebra with Applications \|판=3 ▲수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 '''[[군론]]'''(群論, {{llang\|en\|group theory}})이라고 한다. 역사적으로 군론은 [[대수 방정식]] 이론과 [[기하학]]과 [[수론]]에서 기원한다.<ref name="Rotman" /> \|출판사=Prentice Hall \|위치=Upper Saddle River, New Jersey \|isbn=0-13-011584-3 }}</ref> == 정의 == 줄 62 ⟶ 66: :<math>\ker f=\{g\in G\colon f(g)=1_H\}</math> :<math>\operatorname{im}f=\{f(g)\colon g\in G\}</math> 이다. 여기에서 <math>f</math>의 핵은 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이며, 상은 <math>H</math>의 [[부분군]]임을 알 수 있다. <math>f</math>가 단사 준동형 사상일 필요 충분 조건은 핵이 [[자명군]]인 것이며, 전사 준동형 사상일 필요 충분 조건은 상이 <math>H</math> 전체인 것이다. 이다. 여기에서 f의 핵은 G의 [[정규 부분군]](f(g<sup>−1</sup>ug) = f(g)<sup>−1</sup>f(u)f(g) = f(g)<sup>−1</sup>1<sub>H</sub>f(g) = f(g)<sup>−1</sup>f(g) = 1<sub>H</sub>)이며, 상은 H은 [[부분군]]임을 알 수 있다. 준동형사상 f가 [[단사 함수]]일 필요충분조건은 ker(f) = {1<sub>G</sub>}이다. == 연산 == 줄 341 ⟶ 345: {{서적 인용 \| 성=Rotman\|이름= Joseph \| title=An introduction to the theory of groups \| publisher=Springer \| 날짜=1994 \| isbn= 978-1-4612-8686-8\|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8\|총서=Graduate Texts in Mathematics\|권=148\|issn=0072-5285\|zbl=0810.20001\|판=4\|언어=en}} {{서적 인용 \| 제목=Fundamentals of group theory. An advanced approach\|성=Roman\|이름=Steven\|날짜=2012\|doi=10.1007/978-0-8176-8301-6\|출판사=Birkhäuser\|isbn= 978-0-8176-8300-9\|zbl=1244.20001\|언어=en}} * {{서적 인용 \| 제목=Groups and symmetry\|성=Armstrong\|이름=Mark A. \|총서=Undergraduate Texts in Mathematics\|날짜=1988\|doi=10.1007/978-1-4757-4034-9\|isbn=978-0-387-96675-5\|issn=0172-6056\|출판사=Springer\|언어=en}} * {{서적 인용 \| 제목=Visual group theory \| 이름= Nathan\|성= Carter\|url=http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/\|isbn=978-0-88385-757-1\|총서=Classroom Resource Materials\|출판사=Mathematical Association of America\|날짜=2009\|언어=en}} * {{서적 인용 \| 제목=A course in group theory \| 이름=John F.\|성=Humphreys\|url=https://global.oup.com/academic/product/a-course-in-group-theory-9780198534594\|출판사=Oxford University Press\|isbn=978-019853459-4\|날짜=1996-07-11\|언어=en}} 줄 369 ⟶ 373: {{nlab\|id=Grp}} {{nlab\|id=group theory\|title=Group theory}} {{전거 통제}} [[분류:군론\| ]]

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