마르코프 부등식: 두 판 사이의 차이

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[[확률론]]에서, '''마르코프 부등식'''({{llang|en|MarkovMarkov’s inequality}})은 음이 아닌 [[확률 변수]]의 함수가 어떤 양수양의 [[수학 상수|상수]]실수 이상일 [[확률]]에 대한 [[유계상한과 하한|상계]]를 제시하는 부등식이다[[부등식]]이다. 단,확률과 [[기댓값]]의 함수는관계를 음이설명하고, 아니어야 한다. 마르코프 부등식이란 이름은 러시아확률 수학자변수의 [[안드레이누적 마르코프분포 함수]] 이름에서대해 따온느슨한 것이다.경우가 (그러나많지만 유용한 부등식은한계를 마르코프의 스승인 [[파프누티 체비쇼프]]가 먼저 발견하였다제공한다.)
 
== 증명정의 ==
마르코프 부등식은 다른 비슷한 부등식들과 함께 확률과 [[기댓값]]의 관계를 설명하고, 확률 변수의 [[누적 분포 함수]]에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.
[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 [[가측 함수]] <math>f\colon X\to(\bar\mathbb R,\mathcal B(\bar\mathbb R))</math>가 주어졌다고 하자. '''마르코프 부등식'''에 따르면, 임의의 양의 실수 <math>a\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>{{rp|83, §3.1, Theorem 3.1.1}}
:<math>t\mu(\{x\in X|\,colon|f(x)|\geqge ta\}) \leqle\frac 1a\int_X|f|\,mathrm d\mu,</math>
특히, [[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의 [[확률 변수]] <math>X\colon\Omega\to(\bar\mathbb R,\mathcal B(\bar\mathbb R))</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 <math>a\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{EPr}(aI_{(|X| \geqge a)}) \leq le\frac{\operatorname{ E}(|X|)}a</math>
여기서 <math>\operatorname E(|X|)</math>는 [[기댓값]]이다.
{{증명|부제=측도론의 언어}}
:<math>\int_X|f|\mathrm d\mu
\ge\int_{\{x\in X\colon|f(x)|\ge a\}}|f|\mathrm d\mu
\ge\int_{\{x\in X\colon|f(x)|\ge a\}}a\mathrm d\mu
=a\mu(\{x\in X\colon|f(x)|\ge a\})
</math>
{{증명 끝}}
{{증명|부제=확률론의 언어}}
:<math>\operatorname E(|X|)
\ge\operatorname E(|X1_{\{\omega\in\Omega\colon|X(\omega)|\ge a\}}|)
\ge\operatorname E(a1_{\{\omega\in\Omega\colon|X(\omega)|\ge a\}})
=a\operatorname{Pr}(|X|\ge a)
</math>
{{증명 끝}}
 
== 설명따름정리 ==
=== 크라메르 부등식 ===
[[측도론]] 관점에서 보면 마르코프 부등식은 이런 뜻이다. (''X'',Σ,μ)가 [[측도 공간]]이고 ''f''는 [[가측 함수|가측]] [[확장된 실수]]값 함수이고 ''t'' > 0이면,
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의 [[확률 변수]] <math>X\colon\Omega\to(\bar\mathbb R,\mathcal B(\bar\mathbb R))</math> 및 [[증가 함수|증가]] [[가측 함수]] <math>\phi\colon(\mathbb R^+,\mathcal B(\mathbb R^+))\to(\mathbb R^+,\mathcal B(\mathbb R^+))</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 <math>a\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Athreya" />{{rp|84, §3.1, Corollary 3.1.4}}
:<math> \mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.</math>
:<math>a\operatorname{EPr}(I_{(|X| \geqge a)})=a\Prle\frac{\operatorname E(|\phi(X)| )}{\geq phi(a)}</math>
특히, 측도가 1인 공간(확률 공간)에서는 이렇게 말할 수 있다.
{{증명}}
''X''가 확률 변수이고 ''a'' > 0일 때
:<math>\textrmoperatorname{Pr}(|X| \geqge a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.</math>
=\operatorname{Pr}(|\phi(X)|\ge\phi(a))
\le\frac{\operatorname E(|\phi(X)|)}{\phi(a)}
</math>
{{증명 끝}}
만약 <math>\phi\colon x\mapsto x^r</math> (<math>r\in\mathbb R^+</math>)일 경우, 이는 다음과 같다.<ref name="Athreya" />{{rp|83, §3.1, Corollary 3.1.2}}
:<math>\operatorname{Pr}(|X|\ge a)\le\frac{\operatorname E(|X|^r)}{a^r}</math>
만약 <math>\phi\colon x\mapsto\exp(rx)</math> (<math>r\in\mathbb R^+</math>)일 경우, 이는 다음과 같다. 이를 '''크라메르 부등식'''({{llang|en|Cramer’s inequality}})이라고 한다.<ref name="Athreya" />{{rp|84, §3.1, Corollary 3.1.5}}
:<math>\operatorname{Pr}(|X|\ge a)\le\frac{M_X(r)}{\exp(ra)}</math>
여기서 <math>M_X(r)</math>는 [[모멘트 생성 함수]]이다.
 
=== 체비쇼프 부등식 ===
== 증명 ==
{{본문|체비쇼프 부등식}}
측도 공간보다 확률 공간인 경우가 간단하고 이해하기 쉬우므로 먼저 설명한다.
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의 적분 가능 [[확률 변수]] <math>X\colon\Omega\to(\bar\mathbb R,\mathcal B(\bar\mathbb R))</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 <math>a\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>a\operatorname{Pr}(|X|-\operatorname E(X)|\geqge a) \leq le\frac{\operatorname{EVar}(|X|).}{a^2}</math>
여기서 <math>\operatorname{Var}(X)</math>는 [[분산]]이다.
 
== 역사 ==
=== 특수한 경우: 확률론을 이용한 증명 ===
마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 [[안드레이 마르코프]]의 이름에서 따온 것이다. 그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 [[파프누티 체비쇼프]]가 먼저 발견하였다.
어떤 사건 ''E''에 대해서, ''I''<sub>''E''</sub>를 ''E''의 정의 확률 변수라 하자. 즉, ''E''가 일어나면 ''I''<sub>''E''</sub> =&nbsp;1이고 일어나지 않으면 ''I''<sub>''E''</sub> =&nbsp;0이다. 따라서 사건 |''X''|&nbsp;≥&nbsp;''a''가 일어나면
:''I''<sub>(|''X''|&nbsp;≥&nbsp;''a'')</sub>&nbsp;=&nbsp;1
이고, 사건 |''X''|&nbsp;<&nbsp;''a''가 일어나면
:''I''<sub>(|''X''| ≥&nbsp;''a'')</sub>&nbsp;=&nbsp;0
이다. 그러면 ''a'' > 0인 ''a''가 주어질 때,
:<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|</math>
이고,
:<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|)</math>
이며 부등식 왼쪽이 아래 식과 같으므로
:<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a)</math>
이고, 다음 식을 얻는다.
:<math>a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|).</math>
''a'' > 0이므로, 양변을 ''a''로 나누면 마르코프 부등식을 얻는다.
 
== 참고 문헌 ==
=== 일반적인 경우: 측도 이론을 이용한 증명 ===
{{각주}}
[[가측 집합]] ''A''에 대해서 1<sub>''A''</sub>를 ''A''의 [[지시 함수]]라 하자. 다시 말해서 ''x'' ∈ ''A''일 때 1<sub>''A''</sub>(''x'') = 1이고, 다른 경우에는 0이다.
''A''<sub>''t''</sub>가 ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' ∈ ''X''| |''f''(''x'')| ≥ ''t''}로 정의되면,
:<math>0\leq t\,1_{A_t}\leq |f|1_{A_t}\leq |f|.</math>
따라서,
:<math>\int_X t\,1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t}|f|\,d\mu\leq\int_X |f|\,d\mu.</math>
이제 이 부등식의 왼쪽이 다음 식과 같다는 것을 생각하면,
:<math>t\int_X 1_{A_t}\,d\mu=t\mu(A_t).</math>
따라서 다음 식을 얻고,
:<math>t\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq \int_X|f|\,d\mu,</math>
''t'' > 0이므로 양변을 ''t''로 나누어 다음 식을 얻을 수 있다.
:<math>\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X|f|\,d\mu.</math>
 
== 응용외부 링크 ==
* {{매스월드|id=MarkovsInequality|제목=Markov’s inequality}}
* 마르코프 부등식은 [[체비쇼프 부등식]]을 증명하는 데 사용한다.
* ''X''가 음이 아닌 정수값을 갖는 확률 변수라면([[조합론]]에서 이런 경우가 많다), ''a'' = 1일 때 마르코프 부등식은 <math>\textrm{Pr}(X \neq 0) \leq \textrm{E}(X)</math> 꼴이 된다. ''X''가 어떤 집합의 크기라면 이 부등식을 써서 그 집합이 비어 있지 않다는 것을 증명할 수 있다. 존재성을 증명할 때 쓴다.
 
[[분류:부등식]]
[[분류:확률론]]
[[분류:확률부등식]]