벡터 공간: 두 판 사이의 차이

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 벡터선형 공간 <math>K</math>는 다음 성질들을 만족시킨다.

체 <math>K</math> 위의 벡터선형 공간 <math>V</math>의 [[집합의 크기]]는 다음과 같다.

체 <math>K</math>에 대한 벡터선형 공간들과 이들 사이의 [[선형 변환]]들은 [[범주 (수학)|범주]]를 이루며, <math>\operatorname{Vect}_K</math>라고 쓴다. 이는 [[아벨 범주]]의 대표적인 예이다. <math>\operatorname{Vect}_K</math>에서의 대표적 범주론적 연산들은 다음과 같다.

** [[영 대상]]은 0차원 벡터선형 공간 <math>\{0\}</math>이다.

* 직합 말고도, [[텐서곱]] <math>V\otimes W</math>을 가지며, 이에 따라 <math>\operatorname{Vect}_K</math>는 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다. 텐서곱의 항등원은 1차원 벡터선형 공간 <math>K</math>이다.

* 집합으로의 망각 함자 <math>F\colon\operatorname{Vect}_K\to\operatorname{Set}</math>, <math>(V,+,\cdot)\mapsto V</math>가 존재하며, 이에 따라서 [[구체적 범주]]를 이룬다. 망각 함자는 [[왼쪽 수반 함자]] <math>\operatorname{Span}\dashv F</math>를 갖는데, <math>\operatorname{Span}</math>은 집합 <math>S</math>를 <math>|S|</math>차원 벡터선형 공간으로 대응시킨다.

[[모형 이론]]의 관점에서, 체 <math>K</math>에 대한 벡터선형 공간의 개념은 [[대수 구조]]로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터선형 공간의 언어는 다음과 같은 연산을 갖는다.

즉, 만약 <math>K</math>가 무한 집합일 경우, 벡터선형 공간의 언어는 무한 개의 연산을 갖는다. 벡터선형 공간을 정의하는 공리들은 모두 항등식으로 적을 수 있으므로, 벡터선형 공간들의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. 벡터 공간의 [[준동형]]은 [[선형 변환]]이며, 벡터선형 공간의 부분 대수는 부분 벡터선형 공간이다. [[합동 관계]]는 부분 벡터선형 공간과 [[일대일 대응]]하며, 주어진 합동 관계에 대응하는 부분 공간은 0과 합동인 벡터들의 집합이다. 특이하게도, 모든 벡터선형 공간은 자유 대수이다.