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판별식: 두 판 사이의 차이

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1번째 줄:
{{다른 뜻|수체의 판별식|[[이차방정식다항 방정식]]의 판별식|[[대수적 수체]]의수체의 판별식}}
[[수학]]에서, '''판별식'''(判別式, {{llang|en|discriminant}})은 [[다항식]]이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.
대수학에서, '''판별식'''(判別式, discriminant)이란 이차방정식의 계수들 간의 관계식으로, 그 근의 성질에 대한 정보를 알려 준다. 보통 [[D|<math>D</math>]], [[Δ|<math>\Delta</math>]] 등의 기호를 사용한다. 어떤 일변수 다항식 <math>f</math>의 판별식은, <math>f</math>와 <math>f</math>의 도함수의 [[종결식]](resultant)으로부터 유도될 수 있다.
 
== 정의 ==
예를 들어, 다음 이차 방정식
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 계수의 0이 아닌 [[다항식]]
:<math>ax^2 + bx + c=0</math>
:<math>p(x)=a(x-x_1)\cdots(x-x_n)\in K[x]</math>
의 판별식은
:<math>Da,x_1,x_2,\dots,x_n\in = b^2 - 4acK</math>이다.
:<math>a\ne 0</math>
의 '''판별식'''은 다음과 같다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref>{{rp|204}}
:<math>\begin{align}\operatorname{Disc}(p)
& = a^{2n-2}\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2 \\
& = (-1)^{n(n-1)/2}a^{2n-2}\prod_{i\ne j}(x_i-x_j) \\
& = (-1)^{n(n-1)/2}a^{-1}\operatorname{res}(p,p')
\end{align}
</math>
여기서 <math>p'</math>는 형식적 [[도함수]], <math>\operatorname{res}</math>는 [[종결식]]이다.
 
== 성질 ==
여기서, <math>a, b, c</math>가 실수일 때
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 및 0이 아닌 <math>p\in K[x]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p</math>는 중복근을 갖는다.
* <math>\operatorname{Disc}(p)=0</math>
 
== 예 ==
* <math>D>0</math>이면, 이차 방정식은 두 개의 서로 다른 [[실수|실근]]을 가지고
=== 2차 다항식 ===
* <math>D=0</math>이면, 이차 방정식은 서로 같은 실근(중근)을 가지고
복소수 계수 2차 다항식
* <math>D<0</math>이면, 이차 방정식의 해는 두 개의 서로 다른 [[허수|허근]]을 가진다
:<math>p(x)=ax^2+bx+c</math>
는 사실을 알아낼 수 있다.
의 판별식은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Disc}(p)=b^2-4ac</math>
만약 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 모두 [[실수]]일 경우 판별식은 실수가 되는데, 만약 양의 실수라면 두 서로 다른 실근을 가지며, 음의 실수라면 두 서로 다른 허근을 가진다. 만약 0이라면 2중 실근을 갖는다.
 
=== 3차 다항식 ===
또, 다음 삼차 방정식
복소수 계수 3차 다항식
:<math>ax^3 + bx^2 + cx + d=0</math>
:<math>p(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
의 판별식은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Disc}(p)=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd</math>
 
특히, 다항식
:<math>x^3+\alpha x+\beta</math>
의 판별식은
:<math>D = b^2c^2 - 4ac4\alpha^3 - 4b^3d - 27a^2d27\beta^2 + 18abcd</math>이다.
이다.
또, 다음 4차 방정식
 
:<math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e=0</math>
=== 4차 다항식 ===
복소수 계수 4차 다항식
:<math>p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e</math>
의 판별식은
:<math>\begin{align}
 
\operatorname{Disc}(p)
:<math> D= b^2 c^2 d^2 -b^3 4d^3 -a c^3 4d^2+abc18d^3-a^2 27d^4 +a^3 256e^3</math><math>-b^2 4c^3+b^3 c 18d e+a 16c^4 e - a b c^2 80d e-a b^2 6d^2 e+a^2 c 144d^2 e </math><math>-27b^4 e^2+a b^2 144c e^2 -a^2 128c^2 e^2-a^2 b 192d e^2</math>
& = 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\
 
& {} - 27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\
의 16개항으로 정리된다.
& {} + 18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde \\
 
& {} - 4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2
고차 다항식에서도, 판별식은 항상 [[방정식]]들의 계수 간의 관계식이다. 이것들은 상당히 길다. 5차, 6차 다항식의 판별식은 각각 59개, 246개 항으로 이루어져 있다. 그리고, 판별식의 항의 개수는 다항식의 차수가 증가함에 따라 기하급수적으로 증가한다.
\end{align}
몇차방정식이어도 그 방정식이 [[복소수]] 범위에서 중근을 가진다는 것은 판별식이 <math>0</math>인 것과 동치이다.
이 개념은 다항식의 계수가 실수일 때 적용된다. 이 경우, 판별식이 사라진다는 것은 다항식의 [[분해체]]에서 여러 근을 가진다는 것과 동치이다.
 
== 정의 ==
=== 공식 ===
근에 관해서, 판별식은 다음과 같다.
:<math>D(\Delta)= a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}= (-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_n^{2n-2}\prod_{i\neq j}(r_i-r_j)</math>
여기서 <math>a_n</math>은 최고차항의 계수이고, <math>r_1, ... , r_n</math>는<ref>중근도 포함해서 센다. 예를 들어, <math>5+2i</math>가 이중근이라면 <math>r_i</math>들 중 두 개는 <math>5+2i</math>이다.</ref> 다항식의 근이다.
 
=== 종결식을 사용한 표현 방법 ===
어떤 <math>n</math>차 다항식 <math>f</math>의 판별식은 종결식을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n</math>이라면, <math>f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+na_nx^{n-1}</math>이고,
 
판별식은
::<math>\Delta(f)=\operatorname{res}(f, f')=\operatorname{det}
\begin{bmatrix}
a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & & & & & \ddots & & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\
a_1 & 2a_2 & 3a_3 & \cdots & \scriptstyle{(n-1)a_{n-1}} & na_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_1 & 2a_2 & 3a_3 & \cdots & \scriptstyle{(n-1)a_{n-1}} & na_n & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & & & & & \ddots & & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & a_1 & 2a_2 & 3a_3 & \cdots & \scriptstyle{(n-1)a_{n-1}} & na_n & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 0 & a_1 & 2a_2 & 3a_3 & \cdots & \scriptstyle{(n-1)a_{n-1}} & na_n \\
\end{bmatrix}
</math>
이다.
 
== 참고 문헌 ==
<math>\operatorname{res}(f, f')</math>는 <math>\scriptstyle{(2n-1)\times (2n-1)}</math> 정방행렬의 [[행렬식]]이며, 만약 0이라면 다항식 <math>f</math>는 중근을 갖게 된다.
{{각주}}
 
== 외부 링크 ==
다음 공식이 성립한다.<ref>{{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}</ref>
* {{매스월드|id=PolynomialDiscriminant|제목=Polynomial discriminant}}
::<math>\operatorname{res}(f,f')=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_n D(f)</math>
 
=== [[실베스터 행렬]]을 사용한 [[2차 방정식]]의 판별식 유도과정 ===
:<math>ax^2+bx+c=0, a_2 = a, a_1= b, a_0 = c</math> 치환,
:<math> M= \begin{bmatrix}
a_2 & a_1 & a_0 \\
2a_2 & a_1 & 0 \\
0 & 2a_2 & 1a_1
\end{bmatrix} </math>
:<math>\therefore M = a_2 a_1 a_1 - a_2 0 2a_2+ a_1 0 0 -a_1 2a_2 a_1 + a_0 2a_2 2a_2 - a_0 a_1 0 </math>
:<math>\quad = a_2 a_1 a_1 - 0+0-a_1 2a_2 a_1 + a_0 2a_2 2a_2 -0 </math>
:<math>\quad = a_2 a_1 a_1-a_1 2a_2 a_1 + a_0 2a_2 2a_2 </math>
:<math>\quad = a_2 a_1^2-2a_2 a_1^2+a_0 4a_2^2 </math>
:<math>\quad = -a_2 a_1^2+a_0 4a_2^2 \,, a_2 = a, a_1= b, a_0 = c </math> 다시 치환하면,
:<math>\therefore M =-ab^2+4ca^2</math>
:<math> D= (-1)^{n(n-1)\over 2} a_n^{-1} M </math>
:<math>\therefore D= (-1)^{n(n-1)\over 2} a_n^{-1} (-ab^2+4ca^2)</math>
:<math>\quad = -a^{-1}(-ab^2+4ca^2)= {(-ab^2+4ca^2) \over -a}= b^2-4ca </math>
:<math> D= b^2-4ca </math>
 
== 원뿔 곡선 ==
[[원뿔 곡선]]의 방정식 <math>ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f= 0</math>에 대해, 판별식 <math>D</math>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>D = b^2 - 4ac</math>
이때 <math>D</math>의 부호에 따라 다음의 성질을 알 수 있다.
* <math>D>0</math>이면 이 방정식은 [[쌍곡선]]이다.
* <math>D=0</math>이면 이 방정식은 [[포물선]]이다.
* <math>D<0</math>이면 이 방정식은 [[타원]]이거나 [[원 (기하학)|원]]이다.
 
== 같이 보기 ==
* [[행렬식|행렬식의 계산]]
* [[종결식]]
* [[실베스터 행렬]]
* [[소행렬식]]
* [[방정식]]
== 각주 ==
{{각주}}
 
[[분류:다항식]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/판별식"