확률 변수: 두 판 사이의 차이
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확률 변수는 고등학생때도 다루는 개념인데 대학교 고학년의 언어로 서술하고 있어서 바꿨음 |
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== 정의 ==
확률 변수는 어떤 시행에 대한 [[결과 (확률론)|결과]]의 집합 <math> \Omega </math>에서 [[가측 공간]] <math> E</math>로 가는 함수 <math>X \colon \Omega \to E</math>로 정의한다. 결과의 집합 이자 [[확률 공간]]인 <math>\Omega</math>는 [[측도론]]의 용어를 사용해 엄밀하게 서술하자면 <math>(\Omega, \mathcal{F}, \operatorname{P})</math>이고, 가측 공간 <math> E</math>는 <math>(E, \mathcal{E})</math>이 된다. 확률 변수는 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>T</math> 등으로 나타낸다.<ref name=":1">{{Cite web|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/probability-statistics-symbols/|title=List of Probability and Statistics Symbols|date=2020-04-26|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-08-21}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.mathsisfun.com/data/random-variables.html|title=Random Variables|website=www.mathsisfun.com|access-date=2020-08-21}}</ref>
* 확률 변수의 [[정의역]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math>은 확률 변수의 '''[[확률 공간]]'''이다.▼
확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다.
* 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math>은 확률변수의 '''상태 공간'''({{llang|de|Zustandsraum}}, {{llang|en|state space}})이다.▼
▲* 확률 변수의 [[정의역]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 은 확률 변수의 '''[[확률 공간]]''' 이다.
▲* 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math> 은 확률변수의 '''상태 공간''' ({{llang|de|Zustandsraum}} , {{llang|en|state space}} )이다.
확률 공간 <math>X\colon\Omega\to E</math>는 그 상태 공간 <math>E</math>에 다음과 같이 확률 측도 <math>\Pr(X\in\cdot)</math>를 정의한다.
:<math>\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad\forall S\in\mathcal E</math>
이를 좀 더 일반적으로 표현하자면 다음과 같다.
: <math>\operatorname{P}(X \in S) = \operatorname{P}(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \in S \})</math>
이는 확률 변수 <math>X</math>가 '''<math>S</math> 속의 값을 가질 확률'''이라고 한다.
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* 예를 들어, 확률 공간이 상태 공간 <math>(\{1,2,\dots,6\},\mathcal P(\{1,2,\dots,6\}))</math>과 같은 [[가측 공간]]이며, 균등 측도를 주었다고 하자. 이 경우, <math>X\colon\{1,2,\dots,6\}\to\{1,2,\dots,6\}</math>는 임의의 [[순열]]일 수 있다.
* 확률 공간이 ([[르베그 측도]]가 갖추어진) 단위 구간 <math>[0,1]</math>라고 하자. 그렇다면, 예를 들어 <math>X\colon r\mapsto \lceil 6r\rceil</math>로 잡을 수 있다.
== 각주 ==
{{각주}}
== 참고 문헌 ==
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