확률 변수: 두 판 사이의 차이
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확률 변수는 고등학생때도 다루는 개념인데 대학교 고학년의 언어로 서술하고 있어서 바꿨음 |
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== 정의 ==
[[확률공간]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, \Pr)</math>와 [[가측 공간]] <math>(E, \mathcal{E})</math>에 대해, '''<math>(E, \mathcal{E})</math>의 값을 가지는 확률 변수''' <math>X</math>는 <math>X: (\Omega, \mathcal{F}) \to (E, \mathcal{E})</math>인 [[가측 함수]]이다. 확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다.
* 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math>
▲* 확률 변수의 [[정의역]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 은 확률 변수의 '''[[확률 공간]]''' 이다.
▲* 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math> 은 확률변수의 '''상태 공간''' ({{llang|de|Zustandsraum}} , {{llang|en|state space}} )이다.
확률 공간 <math>X\colon\Omega\to E</math>는 그 상태 공간 <math>E</math>에 다음과 같이 확률 측도 <math>\Pr(X\in\cdot)</math>를 정의한다.
:<math>\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad\forall S\in\mathcal E</math>
이는 확률 변수 <math>X</math>가 '''<math>S</math> 속의 값을 가질 확률'''이라고 한다.
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* 예를 들어, 확률 공간이 상태 공간 <math>(\{1,2,\dots,6\},\mathcal P(\{1,2,\dots,6\}))</math>과 같은 [[가측 공간]]이며, 균등 측도를 주었다고 하자. 이 경우, <math>X\colon\{1,2,\dots,6\}\to\{1,2,\dots,6\}</math>는 임의의 [[순열]]일 수 있다.
* 확률 공간이 ([[르베그 측도]]가 갖추어진) 단위 구간 <math>[0,1]</math>라고 하자. 그렇다면, 예를 들어 <math>X\colon r\mapsto \lceil 6r\rceil</math>로 잡을 수 있다.
== 참고 문헌 ==
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