2020년 12월 1일 (화) 12:48 판 편집 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,476 편집 편집 요약 없음 ← 이전 편집		2020년 12월 1일 (화) 14:29 판 편집 편집 취소 Sadopaul (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자, 업로더 11,967 편집 지적하신 내용을 고려해서 수정하였고, 영어 위키백과에서 내용을 더 가져왔습니다. 수정해주시면 감사하겠습니다! 태그: 시각 편집 다음 편집 →
1번째 줄: [[File:Random_Variable_as_a_Function-en.svg\|링크=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Random_Variable_as_a_Function-en.svg\|섬네일\|확률 변수가 어떻게 함수로 기능하는지에 대한 그림. 시행 결과인 확률 공간의 원소 앞면(Head)과 뒷면(Tail)이 가측 공간의 +1과 -1로 대응되고 있다. 또한 빨간 화살표로 확률 밀도 함수도 보여준다.]] [[확률론]]에서, '''확률 변수'''(確率變數, {{llang\|en\|random variable}})는 [[확률 공간]]에서 다른 [[가측 공간]]으로 가는 [[가측 함수]]이다. 이는 확률적인 과정에 따라 값이 결정되는 변수를 나타낸다. 같은 [[확률 공간]]에 정의된 여러 확률 변수에 대하여, 이들의 [[조건부 확률]]이나 [[독립 (확률론)\|독립]] 여부를 정의할 수 있다. [[확률론]]에서, '''확률 변수'''(確率變數, {{llang\|en\|random variable}})는 확률적인 과정에 따라 값이 결정되는 변수를 말한다.<ref>{{cite book\|title=Introduction to Probability\|last1=Blitzstein\|first1=Joe\|last2=Hwang\|first2=Jessica\|date=2014\|publisher=CRC Press\|isbn=9781466575592}}</ref> 이는 엄밀히 말하자면 시행 [[결과 (확률론)\|결과]]에 대한 집합인 [[확률 공간]]에서 [[가측 공간]]으로 가는 [[가측 함수]]를 의미한다.<ref name="UCSB">{{cite web\|url=http://econ.ucsb.edu/~doug/245a/Lectures/Measure%20Theory.pdf\|title=Economics 245A – Introduction to Measure Theory\|last=Steigerwald\|first=Douglas G.\|publisher=University of California, Santa Barbara\|accessdate=April 26, 2013}}</ref> 같은 [[확률 공간]]에 정의된 여러 확률 변수에 대하여, 이들의 [[조건부 확률]]이나 [[독립 (확률론)\|독립]] 여부를 정의할 수 있다. 확률 변수는 아직 실제로 나타나지는 않았지만 나타날 가능성이 있는 모든 경우의 수에 해당하는 값을 가질 수 있다. 주사위를 굴리는 등 실제로 무작위적인 시행에 대해서도 쓸 수 있고, [[양자역학]]처럼 예측 불가능한 물리적 변수의 시행 결과에 대해서도 확률 변수라는 단어를 사용한다. 이처럼 정확히 알지 못하는 어떤 양적 변수의 잠재적인 결과에 대해 확률이라는 단어를 쓸 수 있는가에 대한 [[확률 해석\|논의]]도 오랜 시간동안 이루어져왔다. 함수로서 확률 변수는 [[가측 함수]]여야 한다. 확률 변수의 [[정의역]]은 가능한 시행 결과들을 담고 있으며, 일반적으로 [[표본 공간]]이라 부른다. 동전 던지기의 경우 앞면과 뒷면이 표본공간의 원소가 된다. == 정의 == 확률 변수는 어떤 시행에 대한 [[결과 (확률론)\|결과]]의 집합 <math> \Omega </math>에서 [[가측 공간]] <math> E</math>로 가는 [[가측 함수]] <math>X \colon \Omega \to E</math>로 정의한다. 결과의 집합이자 [[확률 공간]]인 <math>\Omega</math>는 [[측도론]]의 용어를 사용해 엄밀하게 서술하자면 <math>(\Omega, \mathcal{F}, \operatorname{P})</math>의 [[표본 공간]]이고, 가측 공간 <math> E</math>는 <math>(E, \mathcal{E})</math>이 된다. 확률 변수는 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>T</math> 등으로 나타낸다.<ref name=":1">{{Cite web\|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/probability-statistics-symbols/\|title=List of Probability and Statistics Symbols\|date=2020-04-26\|website=Math Vault\|language=en-US\|access-date=2020-08-21}}</ref><ref>{{Cite web\|url=https://www.mathsisfun.com/data/random-variables.html\|title=Random Variables\|website=www.mathsisfun.com\|access-date=2020-08-21}}</ref> [[확률 공간]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, \Pr)</math> 위의, [[가측 공간]] <math>(E, \mathcal{E})</math>의 값을 가지는 '''확률 변수'''는 <math>X\colon (\Omega, \mathcal{F}) \to (E, \mathcal{E})</math>인 [[가측 함수]]이다. 확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다. * 확률 변수의 [[정의역]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math>은 확률 변수의 '''[[확률 공간]]'''이다.▼ 확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다. * 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math>은 확률 변수의 '''상태 공간'''(狀態空間, {{llang\|en\|state space}})이다.▼ ▲* 확률 변수의 [[정의역]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 은 확률 변수의 '''[[확률 공간]]''' 이다. (즉, 확률 변수가 상태들의 가측 집합 속의 값을 취하는 사건과 그 확률을 생각할 수 있다.)▼ ▲* 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math> 은 확률 변수의 '''상태 공간''' (狀態空間, {{llang\|en\|state space}} )이다. ▲~~(즉,~~이에 따라 확률 변수가 상태들의 가측 집합 속의 값을 취하는 사건과 그 확률을 생각할 수 있다.) 확률 공간 <math>X\colon\Omega\to E</math>는 그 상태 공간 <math>E</math>에 다음과 같이 확률 측도 <math>\Pr(X\in\cdot)</math>를 정의한다. : <math>\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad\forall S\in\mathcal E</math>▼ 이를 좀 더 일반적으로 표현하자면 다음과 같다. : <math>X^\operatorname{-1P}(X \in S) = \operatorname{P}(\{ \omega \in \Omega \~~colon~~mid X(\omega) \in S \})</math>▼ 이는 확률 변수 <math>X~~\colon\Omega\to E~~</math>~~는 그 상태 공간~~가 '''<math>ES</math> 위에속의 ~~다음과~~값을 같은가질 [[확률'''이라고 ~~측도]] <math>\Pr(X\in\cdot)</math>를 유도한다~~한다. ▲:<math>\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad\forall S\in\mathcal E</math> ~~이는 확률 변수 <math>X</math>가 '''<math>S</math> 속의 값을 가질 확률'''이라고 한다. 여기서~~ ▲:<math>X^{-1}(S)=\{\omega\in\Omega\colon X(\omega)\in S\}</math> ~~이다.~~ 만약 상태 공간이 [[위상 공간 (수학)\|위상 공간]]인 경우, 상태 공간은 통상적으로 [[보렐 시그마 대수]]를 사용한다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 확률 변수는 실수의 [[보렐 시그마 대수]]에 대한 가측 함수이다. (반면, 보렐 시그마 대수 대신 [[르베그 가측 집합]]의 시그마 대수를 사용하면, 연속 함수이지만 가측 함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.) == 예 ==

확률 변수: 두 판 사이의 차이