확률 변수: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
지적하신 내용을 고려해서 수정하였고, 영어 위키백과에서 내용을 더 가져왔습니다. 수정해주시면 감사하겠습니다! |
가측 함수는 집합으로서의 정의역, 공역 밖에도 이들에 딸린 시그마 대수가 명시되어야 합니다. 이를 반영했던 저의 이전 기여를 존중해 주시기 바랍니다. 태그: 되돌려진 기여 |
||
7번째 줄:
== 정의 ==
[[확률 공간]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, \Pr)</math> 위의, [[가측 공간]] <math>(E, \mathcal{E})</math>의 값을 가지는 '''확률 변수'''는 [[가측 함수]] <math>X\colon (\Omega, \mathcal{F}) \to (E, \mathcal{E})</math>를 뜻한다. 확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다.
* 확률 변수의 [[정의역]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math>
* 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math>
확률
▲* 확률 변수의 [[정의역]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 은 확률 변수의 '''[[확률 공간]]''' 이다.
이는 확률 변수 <math>X</math>가 '''<math>S</math> 속의 값을 가질 확률'''이라고 한다. 여기서▼
▲* 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math> 은 확률 변수의 '''상태 공간''' (狀態空間, {{llang|en|state space}} )이다.
:
▲이에 따라 확률 변수가 상태들의 가측 집합 속의 값을 취하는 사건과 그 확률을 생각할 수 있다.)
이다.
만약 상태 공간이 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]인 경우, 상태 공간은 통상적으로 [[보렐 시그마 대수]]를 사용한다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 확률 변수는 실수의 [[보렐 시그마 대수]]에 대한 가측 함수이다. (반면, 보렐 시그마 대수 대신 [[르베그 가측 집합]]의 시그마 대수를 사용하면, 연속 함수이지만 가측 함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.)▼
▲확률 공간 <math>X\colon\Omega\to E</math>는 그 상태 공간 <math>E</math>에 다음과 같이 확률 측도 <math>\Pr(X\in\cdot)</math>를 정의한다.
▲: <math>\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad\forall S\in\mathcal E</math>
▲: <math>\operatorname{P}(X \in S) = \operatorname{P}(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \in S \})</math>
▲이는 확률 변수 <math>X</math>가 '''<math>S</math> 속의 값을 가질 확률'''이라고 한다.
▲만약 상태 공간이 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]인 경우, 상태 공간은 통상적으로 [[보렐 시그마 대수]]를 사용한다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 확률 변수는 실수의 [[보렐 시그마 대수]]에 대한 가측 함수이다. 반면, 보렐 시그마 대수 대신 [[르베그 가측 집합]]의 시그마 대수를 사용하면 연속 함수이지만 가측 함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.
== 예 ==
줄 38 ⟶ 32:
마찬가지로, 홀수가 나올 확률은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Pr}(X=1)=\operatorname{Pr}(\{1,3,5\})=1/2</math>
== 각주 ==
{{각주}}
== 참고 문헌 ==
| |||