확률 변수: 두 판 사이의 차이
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[[확률론]]에서, '''확률 변수'''(確率變數, {{llang|en|random variable}})는 [[확률 공간]]에서 다른 [[가측 공간]]으로 가는 [[가측 함수]]이다.<ref name="UCSB">{{웹 인용|url=http://econ.ucsb.edu/~doug/245a/Lectures/Measure%20Theory.pdf|title=Economics 245A – Introduction to Measure Theory|last=Steigerwald|first=Douglas G.|publisher=University of California, Santa Barbara|accessdate=April 26, 2013}}</ref> 시행의 결과에 따라 값이 결정되는 변수를 나타낸다.<ref>{{서적 인용|title=Introduction to Probability|last1=Blitzstein|first1=Joe|last2=Hwang|first2=Jessica|date=2014|publisher=CRC Press|isbn=9781466575592}}</ref> 가측 함수 조건은 확률 변수가 [[공역 (수학)|공역]]이 되는 가측 공간 위에 새로운 [[확률 측도]]를 유도할 수 있도록 하기 위해 필요하다. 이 확률 측도는 흔히 [[확률 분포]]라고 부른다.
확률 변수는 아직 실제로 나타나지는 않았지만 나타날 가능성이 있는 모든 경우의 수에 해당하는 값을 가질 수 있다. 주사위를 굴리는 등 실제로 무작위적인 시행에 대해서도 쓸 수 있고, [[양자역학]]처럼 예측 불가능한 물리적 변수의 시행 결과에 대해서도 확률 변수라는 단어를 사용한다. 이처럼 정확히 알지 못하는 어떤 양적 변수의 잠재적인 결과에 대해 확률이라는 단어를 쓸 수 있는가에 대한 [[확률 해석|논의]]도 오랜 시간동안 이루어져왔다.
== 정의 ==
[[확률 공간]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, \Pr)</math> 위의, [[가측 공간]] <math>(E, \mathcal{E})</math>의 값을 가지는 '''확률 변수'''는 [[가측 함수]] <math>X\colon (\Omega, \mathcal{F}) \to (E, \mathcal{E})</math>를 뜻한다. (즉
* 확률 변수의 [[정의역]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math>은 확률 변수의 '''[[확률 공간]]'''이다
* 확률 변수의 [[공역]] <math>(E,\mathcal E)</math>은 확률 변수의 '''상태 공간'''(狀態空間, {{llang|en|state space}})이다.
확률 변수 <math>X\colon\Omega\to E</math>는 그 상태 공간 <math>E</math> 위에 다음과 같은 [[확률 측도]] <math>\Pr(X\in\cdot)</math>를 유도한다.
:<math>\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad\forall S\in\mathcal E</math>
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== 예 ==
=== 예1 ===
주사위를 던져 나오는 눈의 수를 추상화한 [[확률 공간]]
:<math>(\
:<math>\mathcal F=\mathcal P(\{1,2,\dots,6\})</math>
:<math>\operatorname{Pr}(\{1\})=\operatorname{Pr}(\{2\})=\operatorname{Pr}(\{3\})=\operatorname{Pr}(\{4\})=\operatorname{Pr}(\{5\})=\operatorname{Pr}(\{6\})=1/6</math>
을 생각하자. 즉, 1부터 6까지의 수가 나올 수 있으며, 각각의 수가 나올 확률은 같다.
▲:<math>X\colon\{1,2,\dots,6\}\to(\{0,1\},\mathcal P(\{0,1\}))</math>
:<math>X\colon 2,4,6\mapsto 0</math>
:<math>X\colon 1,3,5\mapsto 1</math>
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마찬가지로, 홀수가 나올 확률은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Pr}(X=1)=\operatorname{Pr}(\{1,3,5\})=1/2</math>
=== 예2 ===
두 개의 주사위를 던진 결과의 [[확률 공간]]
:<math>(\Omega\times\Omega,\mathcal F\times\mathcal F,\operatorname{Pr}\times\operatorname{Pr})</math>
을 생각하자. 즉, 두 주사위의 눈의 수는 서로 [[독립 (확률론)|독립]]이다. 두 눈의 수의 합을 나타내는 확률 변수
:<math>Y\colon(i,j)\mapsto i+j</math>
의 [[확률 분포]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Pr}(Y=2)=\operatorname{Pr}(\{(1,1)\})=1/36</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=3)=\operatorname{Pr}(\{(1,2),(2,1)\})=1/18</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=4)=\operatorname{Pr}(\{(1,3),(2,2),(3,1)\})=1/12</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=5)=\operatorname{Pr}(\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\})=1/9</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=6)=\operatorname{Pr}(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\})=5/36</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=7)=\operatorname{Pr}(\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\})=1/6</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=8)=\operatorname{Pr}(\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\})=5/36</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=9)=\operatorname{Pr}(\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\})=1/9</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=10)=\operatorname{Pr}(\{(4,6),(5,5),(6,4)\})=1/12</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=11)=\operatorname{Pr}(\{(5,6),(6,5)\})=1/18</math>
:<math>\operatorname{Pr}(Y=12)=\operatorname{Pr}(\{(6,6)\})=1/36</math>
== 각주 ==
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