불가촉 수: 두 판 사이의 차이

5는 유일한 홀수 불가촉 수로 생각되지만 증명되지 않았는데, 만약 [[골드바흐의 추측]]이 참이라면 증명이 된다. 또 이것이 증명 된다면 경우 2와 5를 제외한 모든 불가촉 수는 [[합성수]]라는 것도 역시나 자동으로 증명된다. 단, 이때 두 소수 a와 b는 반드시 서로 달라야만 하므로 원래의 [[골드바흐의 추측]]이 맞다는 사실만으로는 정확히 증명이 되지 않으므로 '6 보다 큰 모든 짝수는 '''서로 다른''' 두 소수의 합으로 표기될 수 있다' 라는 좀 더 확장한 조건이 있어야 한다. 서로 다른 두 [[소수 (수론)|소수]]의 곱으로 이루어진 약수가 4개인 홀수 c의 진약수인 1, a, b의 합이 또 다른 홀수 d가 되므로, [[골드바흐의 추측|서로 다른 두 소수의 합으로 표현되는 짝수에서 1을 더한 수]]는 불가촉 수가 될 수 없다는 이야기다. 예를 들어 [[소수 (수론)|소수]] 3과 7을 이용한다면 3+7=10 이므로 그 수에 1을 더한 11은 불가촉 수가 될 수 없다. 3×7=21의 진약수 1, 3, 7의 합이 11이 되기 때문이다. 이것은 5가 유일한 홀수 불가촉 수가 확실하다는 사실을 증명을 하기 위한 충분한 조건일 뿐이다. 즉 [[골드바흐의 추측]]이 거짓이더라도 특정소수의 0제곱인 1부터 특정소수의 거듭제곱까지의n제곱까지의 합과 2의 거듭제곱-1, 그리고 그 외의 약수가 6개 이상이면서 진약수의 총합이 홀수가 되는 짝수 또는 홀수도수도 있으므로 5가 유일한 홀수 불가촉 수일 수도 있다는 말이다. 그리고 어떤 [[완전수]]도 불가촉 수가 될 수 없는데, 그 이유는 완전수의 정의가 자기 자신의 진약수의 합인 수이기 때문이다. 마찬가지로, [[친화수]]나 [[사교수]]도 불가촉 수가 될 수 없다. 또한, 특정 소수의 0제곱부터 n제곱까지를 모두 더한 총합 즉 첫 항이 1이고 [[메르센 수|2의 거듭제곱 - 1]]을 포함한 등비가 [[소수 (수론)|소수]]인 등비수열의 합. 다시 말해 <math>\tfrac{p^n-1}{p-1}</math>의 꼴(단, p는 소수)로 표현되고, p진법에서 1이 늘어선 형태를 하고 있는 수 역시 불가촉 수가 될 수 없다.