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H-보충 경계: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
<math>\mathcal C</math>가 (위상) [[다양체]] · {{임시링크|조각적 선형 다양체|en|Piecewise linear manifold}} · [[매끄러운 다양체]]의 범주 가운데 하나라고 하자. 그리고 두 <math>n</math>차원 <math>\mathcal C</math>-다양체 <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 [[보충 경계]] <math>(W,\iota_M,\iota_N)</math>이 주어졌다고 하자. (그러므로 <math>W</math>는 <math>(n+1)</math>차원 <math>\mathcal C</math>-다양체가 된다.)
 
두 <math>n</math>차원 <math>\mathcal C</math>-다양체 <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 [[보충 경계]] <math>(W,\iota_M,\iota_N)</math>이 주어졌다고 하자.▼
:<math>\iota_M\colon M\hookrightarrow W</math>
:<math>\iota_N\colon N\hookrightarrow W</math>
만약 <math>\iota_M</math>과 <math>\iota_N</math> 각각이 모두 [[호모토피 동치]]일 경우, <math>(W,\iota_M,\iota_N)</math>을 '''h-보충 경계'''라고 한다.
 
== h-보충 경계 정리 ==
h-보충 경계는 다음과 같은 '''h-보충 경계 정리'''(h-補充境界定理, {{llang|en|h-cobordism theorem}})가 성립하기 때문에 중요한 의미를 가진다.
 
{{인용문|'''h-보충 경계 정리'''
: <math>n\ge5</math> 차원의 두 [[단일 연결]] <math>\mathcal C</math>-다양체 <math>M</math>과 <math>N</math> 사이의 h-보충 경계 <math>(W,\iota_M,\iota_N)</math>이 존재한다고 하자. '''h-보충 경계 정리'''에 따르면, <math>W</math>는 <math>M\times[0,1]</math>과 <math>\mathcal C</math>-[[동형]]이며, 또한 이 동형은 <math>M \cong M\times\{0\}</math>가 되도록 잡을 수 있다.
 
▲두 <math>n\ge5</math>차원 차원의 두 [[단일 연결]] <math>\mathcal C</math>-다양체 <math>M</math>,과 <math>N</math> 사이의 [[h-보충 경계]] <math>(W,\iota_M,\iota_N)</math>이 주어졌다고존재한다고 하자.
 
이 때, <math>(M\times[0,1], M\times\{0\}, N\times\{1\}) \mapsto (W, \iota_M (M), \iota_N (N))</math>으로 각각 보내는 <math>\mathcal C</math>-[[동형]]이 존재한다.
 
특히, <math>M</math>과 <math>N</math>이 서로 <math>\mathcal C</math>-동형이다.}}
 
즉, 5차원 이상 [[단일 연결]] 다양체의 경우, (주어진 범주에서의) h-보충 경계의 존재는 (주어진 범주에서의) 동형과 같다.
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=== 푸앵카레 추측과의 관계 ===
 
<math>n-1</math>차원에차원 <math>\mathcal C</math> 다양체에 대해 h-보충 경계 정리가 성립할 경우, 매끄러운 <math>n</math>차원 <math>\mathcal C</math> 다양체에 대한 {{임시링크|일반화된 푸앵카레 추측|en|Generalized Poincaré conjecture}}을 유도할 수 있다.
: <math>M^n</math>이 구 <math>S^n</math>과 호모토피 동형이라면, 서로 [[위상<math>\mathcal 동형]]이다C</math>-동형이다.
 
[[스티븐 스메일]]은 5차원 이상의 h-보충 경계 정리를 이용해 매끄러운 6차원 다양체에 대한 푸앵카레 추측을 증명하였고, 약간의 보조정리를 추가해서 매끄러운 5차원 다양체에 대한 푸앵카레 추측도 증명하였다.<ref name="Smale1960"/>
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/H-보충_경계"