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[[파일:Cauchy sequence illustration.svg|섬네일|right|코시 수열의 예. 코시 열에서는 점 사이의 거리가 0으로 수렴한다.]]
[[파일:Cauchy_sequence_illustration2.svg|섬네일|right|코시 수열이 아닌 수열]]
[[해석학 (수학)|해석학]]에서, '''코시 열'''(Cauchy列, {{llang|en|Cauchy sequence}})은 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 [[수열|점렬]]이다. 즉, 코시 열에서는 충분한 수의 처음 유한 개의 점들을 제외하면, 남은 점들 사이의 [[거리 공간|거리]]가 임의로 작아진다. 실수체 또는 유리수체의 경우에는 '''코시 수열'''(Cauchy數列)이라고 한다.
==정의==
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 [[점렬]] <math>(p_i)_{i=0}^\infty</math>이 있다고 하자. 만약 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[자연수]] <math>N(\epsilon)\in\mathbb N</math>가 존재한다고 하자.
:<math>d(p_i,p_j)<\epsilon\qquad\forall i,j\ge N(\epsilon)</math>
그렇다면 <math>(p_i)_{i=0}^\infty</math>를 '''코시 열'''이라고 한다.
==예==
[[유리수]] 전체의 집합 <math>\mathbb Q</math>와 [[실수]] 전체의 집합 <math>\mathbb R</math>에 [[절댓값]]으로 정의되는 일반적인 [[거리 함수]] <math>d</math>로 정의된 거리 공간 <math>(\mathbb Q,d)</math>, <math>(\mathbb R,d)</math>가 있을 때, 수열 <math>\{1/n\}_{n \in \mathbf{N}}</math>은 코시 수열이다. <math>\mathbb R</math>, <math>\mathbb Q</math> 모두에서 수렴하며, 수렴하는 값은 0이다.
<math>x_n =\lfloor n\sqrt{2}\rfloor/n</math> 로 정의된 수열 <math>\{x_n\}_{n \in \mathbb N}</math>은 코시 수열이다. <math>\mathbb R</math>에서는 <math>\sqrt 2</math>로 수렴하지만, <math>\sqrt 2</math>는 유리수가 아니므로 <math>\mathbb Q</math>에서는 수렴하지 않는다.
== 역사 ==
[[오귀스탱 루이 코시]]가 도입하였다.
== 같이 보기 ==
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cauchy sequence}}
* {{매스월드|id=CauchySequence|title=Cauchy sequence}}
[[분류:계량기하학]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:수열]]
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