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[[대수학]]에서, '''(다항식) 나머지 정리'''((多項式)-定理, {{llang|en|(polynomial) remainder theorem}}) 또는 '''베주의 소정리'''({{llang|en|Little Bézout's theorem}}, [[프랑스]]의 수학자인 [[에티엔 베주]]에서 이름을 따옴)<ref>{{저널 인용|저자=Piotr Rudnicki|제목=Little Bézout Theorem (Factor Theorem)|저널=Formalized Mathematics|권=12|호=1|연도=2004년|쪽=49–58|url=http://mizar.org/fm/2004-12/pdf12-1/uproots.pdf}}</ref>는 다항식을 1차 다항식으로 나눈 나머지를 구하는 정리이다. 대략 다항식 <math>f(x)</math>를 1차 다항식 <math>x-a</math>로 나눈 나머지가 <math>f(a)</math>라는 내용이다.
[[나눗셈 정리]]의 따름정리이며, [[인수 정리]]를 특수한 경우로 포함한다. 선형후자에 다항식따르면 <math>x-r</math>에 의한 다항식 <math>f(x)</math>의 나머지 [[나눗셈]]은 <math>f(r)</math>과 같다고 명시한다. 특히 <math>x-ra</math>는 <math>f(ra)=0</math>인 경우에만 <math>f(x)</math>의 배수인데배수이다.<ref>Larson, Ron (2014), College Algebra, Cengage Learning</ref> 이러한여러 속성은개의 근을 갖는 다항식은 인수 정리로정리를 알려져반복적으로 적용하여 인수분해할 수 있다.<ref>Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning</ref>
== 정의 ==
== 증명 ==
{{증명|제목=유클리드 나눗셈을 통한 증명}}
유클리드 나눗셈을 통해 2개의 다항식 {{수학|''f''(''x'')}} (피제수)와 {{수학|''g''(''x'')}} (제수)가 주어지면 다음과 같이 몫 {{수학|''Q''(''x'')}}와 나머지 {{수학|''R''(''x'')}}의 존재 (및 고유성)을 주장하게 된다.
:<math>f(x)=Q(x)g(x) + R(x)\quad \text{and}\quad R(x) = 0 \ \text{ or } \deg(R)<\deg(g).</math>
만약 제수가 <math>g(x) = x-r</math>이면 r은 상수이고 {{수학|1=''R''(''x'') = 0}} 또는 그 정도가 0이다. 2가지 경우 모두 {{수학|''R''(''x'')}}는 {{수학|''x''}}와 독립적인 상수이다.
:<math>f(x)=Q(x)(x-r) + R</math> ▼
이 공식에서 <math>x=r</math>를 설정하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
:<math>f(r)=R.</math>
일부 사람들에게는 더 기본적인 것으로 보일 수 있는 약간 다른 증거는 <math>f(x)-f(r)</math>가 <math>x^k-r^k</math> 형식을 띤 항들의 [[선형 결합]]이라는 관찰에서 시작하는데 이들은 <math>x^k-r^k=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots+xr^{k-2}+r^{k-1})</math> 이후에 <math>x-r</math>로 구분된다.
{{증명|제목=나눗셈 정리를 통한 증명}}
<math>x-a</math>가 1차 [[일계수 다항식]]이므로, 다항식의 [[나눗셈 정리]]에 따라 다음 조건을 만족시키는 몫 <math>q\in R[x]</math> 및 나머지 <math>r\in R</math>가 유일하게 존재한다.
:<math>f(x)=(x-a)q(x)+r</math>
나머지 <math>r</math>가 환의 원소인 것은 나머지의 정의에 따라 <math>r=0</math>이거나
따라서
:<math>f\deg r<\deg(a)=(ax-a)q(a)+r=r1</math>
이어야 하기 때문이다. 따라서
▲:<math>f( xa)= Q( xa-a) q( x-a)+r =0q(a) + Rr=r</math>
이다.
{{증명 끝}}
:<math>\frac{f^{(i)}(x)}{i!}=\sum_{k=i}^{\max\{\deg f,0\}}\binom kia_kx^{k-i}\in R[x]</math>
는 <math>R</math>의 [[환의 표수|표수]]가 0이 아니더라도 잘 정의된다. 특히, <math>f</math>를 <math>x-a</math>로 나눈 나머지는 <math>f(a)</math>이다.
{{증명|제목=증명3}}
<math>f(x)-f(a)</math>가 <math>x-a</math>의 배수임을 보이면 된다. <math>f(x)-f(a)</math>는
:<math>x^i-a^i=(x-a)(x^{i-1}+x^{i-2}a+\cdots+xa^{i-2}+a^{i-1})</math>
꼴의 다항식들의 <math>R</math>-선형 결합이므로 <math>x-a</math>의 배수가 맞다.
{{증명 끝}}
== 예제예 ==
=== 예제 1 ===
다항식 <math>f(x) = x^3 - 12x^2 - 42</math>에서 <math>x-3</math>으로 나눈 몫과 나머지는 각각 <math>x^2 - 9x - 27</math>과 <math>-123</math>이다. 따라서 <math>f(3)=-123</math>이다.
=== 예제 2 ===
다항식 나머지 정리가 다음과 같은 대수적 조작을 사용하여 임의의 2도 다항식 <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>에 대해 유지됨을 보여준다.
:<math>
\begin{align}
\frac{f(x)}{{x - r}} &= \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x - r}} \\
&= \frac{{a{x^2} - arx + arx + bx + c}}{{x - r}} \\
&= \frac{{ax(x - r) + (b + ar)x + c}}{{x - r}} \\
&= ax + \frac{{(b + ar)(x - r) + c + r(b + ar)}}{{x - r}} \\
&= ax + b + ar + \frac{{c + r(b + ar)}}{{x - r}} \\
&= ax + b + ar + \frac{{a{r^2} + br + c}}{{x - r}}
\end{align}</math>
양쪽을 모두 곱하면 (''x'' − ''r'')이 주어진다.
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c = (ax + b + ar)(x - r) + {a{r^2} + br + c}</math>
<math>R = ar^2 + br + c</math>가 나머지이므로 우리는 실제로 <math>f(r) = R</math>임을 확인할 수 있다.
== 응용 ==
나머지 정리에 따라, <math>f(a)</math>는 <math>f(x)</math>를 <math>x-a</math>로 나누는 [[조립제법]]을 통해 계산할 수 있다. 컴퓨터에서는함수에의 후자가대입은 전자에직접 비해 계산량이 더 적다. [[함수]] 자체를 평가하는계산하는 것보다 [[다항식조립제법을 장제법]]이사용하는 더방법이 어렵지만계산의 [[조립제법]]은 계산적으로대가가 더 쉽다. 따라서 함수는 조립제법과 다항식의 나머지 정리를 사용하여 "싸게" 평가할 수 있다적다.
[[인수 정리]]는 나머지 정리에서 <math>f(a)=0</math>인 특수한 경우이다. 이에 따르면 만약 <math>a</math>가 <math>f(x)</math>의 근인 것은 <math>x-a</math>가 <math>f(x)</math>의 약수인 것과 동치이다. 인수 정리의 반복적 적용은 다항식을 인수화하기 위해 사용될 수 있다.<ref>Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning</ref>
== 각주 ==
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