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소수의 초월수들만 알려져 있지만 부분적으로 주어진 숫자가 초월적이라는 것을 보여주는 것은 극히 어려울 수 있기 때문에 초월수들은 드물지 않다. 실제로 대수들이 [[가산 집합]]을 구성하는 반면 [[실수]]의 [[집합]], [[복소수]]의 집합은 모두 비가산 집합이므로 거의 모든 실수들과 복소수들은 초월적이다. 모든 초월실수("실제 초월수" 또는 "초월무리수"라고도 함)는 모든 [[유리수]]가 대수학적이기 때문에 [[무리수]]이다.<ref name="numbers">{{서적 인용|성1=Bunday|이름1=B. D.|성2=Mulholland|이름2=H.|제목=Pure Mathematics for Advanced Level|날짜=2014년 5월 20일|출판사=Butterworth-Heinemann|isbn=978-1-4831-0613-7|url=https://books.google.com/books?id=02_iBQAAQBAJ|확인날짜=2021년 3월 21일|언어=영어}}</ref><ref>{{저널 인용|성1=Baker|이름1=A.|제목=On Mahler's classification of transcendental numbers|저널=Acta Mathematica|연도=1964년|권=111|쪽=97–120|doi=10.1007/bf02391010|s2cid=122023355|url=https://projecteuclid.org/journals/acta-mathematica/volume-111/issue-none/On-Mahlers-classification-of-transcendental-numbers/10.1007/BF02391010.full|확인날짜=2021년 3월 21일|doi-access=free}}</ref><ref>{{ArXiv 인용|성1=Heuer|이름1=Nicolaus|성2=Loeh|이름2=Clara|제목=Transcendental simplicial volumes|날짜=2019년 11월 1일|분류=math.GT|eprint=1911.06386}}</ref><ref>{{웹 인용|제목=Real number {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/real-number|확인날짜=2020년 8월 11일|웹사이트=Encyclopedia Britannica|언어=영어}}</ref> 그 반대는 사실이 아니다. 모든 무리수가 초월적인 것은 아니다. 따라서 실수의 집합은 겹치지 않는 유리수, 대수적인 무리수, 초월적인 실수로 구성된다.<ref name="numbers" /> 예를 들어 [[제곱근 2]]는 무리수이지만 다항식 {{수학|1=''x''<sup>2</sup> − 2 {{=}} 0}}의 근인 만큼 초월수는 아니다. [[황금비]](<math>\varphi</math> 또는 <math>\phi</math>로 표시됨)은 다항식 {{수학|1=''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 1 {{=}} 0}}의 근으로서 초월적이지 않은 또다른 무리수이다.
==History 역사 ==
The name "transcendental초월적"이라는 comes이름은 from[[라틴어]]로 the"넘어오거나 Latin넘어서거나"를 뜻하는 '트란스켄데레'(transcendĕre'')에서 'to climb over or beyond, surmount',유래되었다.<ref>''[[Oxford English Dictionary]]'', [http://www.oed.com/view/Entry/204606 ''s.v.'']</ref> and was first used for the mathematical concept in [[Gottfried고트프리트 Leibniz|Leibniz's빌헬름 라이프니츠]]는 16821682년에 paper발표한 in자신의 which논문에서 he수학적 proved개념을 that처음 사용했는데 {{math수학|sin ''x''}}가 is{{수학 not an변수|x}}의 [[algebraic function대수함수]]가 of아니라는 {{mvar|x}}것을 증명했다.<ref>{{harvnb괄호 없는 하버드 인용|Leibniz|Gerhardt|Pertz|1858|pp=97–98}}.</ref><ref>{{harvnb괄호 없는 하버드 인용|Bourbaki|1994|p=74}}.</ref> [[Leonhard레온하르트 Euler|Euler오일러]],는 in18세기에 the현대적인 18th숫자를 century,"초월한" was최초의 probably수학자로 the여겨지고 first person to define transcendental ''numbers'' in the modern sense있다.<ref>{{harvnb괄호 없는 하버드 인용|Erdős|Dudley|1983}}.</ref>
[[Johann Heinrich Lambert]] conjectured that {{mvar|[[E (mathematical constant)|e]]}} and [[Pi|{{pi}}]] were both transcendental numbers in his 1768 paper proving the number {{pi}} is [[irrational number|irrational]], and proposed a tentative sketch of a proof of {{pi}}'s transcendence.<ref>{{harvnb|Lambert|1768}}.</ref>
[[Joseph Liouville]] first proved the existence of transcendental numbers in 1844,<ref name=Kempner>{{harvnb|Kempner|1916}}.</ref> and in 1851 gave the first decimal examples such as the [[Liouville number|Liouville constant]] <!-- "Decimal Liouville constant" uses 10^-n! | "Binary Liouville constant" uses 2^-n! //-->
[[요한 람베르트]]는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 {{수학 변수|e}}([[자연로그의 밑]])와 {{pi}}([[원주율]]) 둘 다 초월수라고 추측했고 [[무리수]]인 {{pi}}의 초월수 증명에 대한 잠정적인 스케치를 제안했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Lambert|1768}}</ref> [[조제프 리우빌]]은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고<ref name="Kempner">{{괄호 없는 하버드 인용|Kempner|1916}}.</ref> 1851년에 [[리우빌 수]]와 같은 소수점 1번째 자리의 사례를 제시했다.
:<math>
\begin{align}
\end{align}</math>
in which the {{mvar|n}}th수학 digit after the decimal point is {{math|1}} if {{mvar변수|n}} is equal to이 {{math수학|''k''!}} ({{mvar수학 변수|k}} [[factorial계승]])인 for경우에는 some소수점 뒤의 {{mvar수학 변수|kn}}번째 and자리가 {{math수학|01}}이고 otherwise그렇지 않은 경우에는 {{수학|0}}입니다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant", MathWorld]</ref> In other words, the즉 {{math|''n''}}th수학 digit of this number is 1 only if {{mvar변수|n}}이 is one of the numbers숫자 {{math수학|1=1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24}}, etc.가운데 Liouville하나일 showed경우에만 that이 this숫자의 number{{수학 belongs변수|n}}번째 to자릿수가 a{{수학|1}}이다. class리우빌은 of이 transcendental숫자가 numbers특정한 that무리수인 can대수적 be수보다 more유리수에 closely의해 approximated보다 by가깝게 [[rational근사할 number]]s수 than있는 can초월수의 any종류에 irrational속한다는 algebraic것을 number,보여주었고 and이 this종류의 class숫자는 of그의 numbers이름을 are따서 called리우빌 [[Liouville number]]s, named in his수라고 honour불린다. Liouville리우빌은 showed모든 that리우빌 all수가 Liouville초월수라는 numbers것을 are transcendental증명했다.<ref>{{harvnb괄호 없는 하버드 인용|Liouville|1851}}.</ref> 1873년에는 [[샤를 에르미트]]가 초월수의 존재를 증명하기 위해 {{수학 변수|e}}가 특별히 구성되지 않은 초월수임을 증명했다.
The first number to be proven transcendental without having been specifically constructed for the purpose of proving transcendental numbers' existence was {{mvar|e}}, by [[Charles Hermite]] in 1873.
1874년에는 [[게오르크 칸토어]]가 대수적 수들은 셀 수 있고 실수는 셀 수 없다는 사실을 증명했다. 그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Cantor|1874}}.</ref><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Gray|1994}}.</ref> 비록 이것이 대수적 숫자의 계산 가능성에 대한 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만 칸토어는 실수들만큼 초월적인 숫자들이 있다는 것을 증명하는 구성을 공개했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Cantor|1878|p=254}}. 칸토어의 구조는 초월수 집합과 실수 집합 사이의 1 대 1 대응 관계를 구축한다. 이 글에서 칸토어는 비합리적인 숫자의 집합에만 그의 구조를 적용한다.</ref> 칸토어의 연구는 초월수의 보편성을 확립했다.
In 1874, [[Georg Cantor]] proved that the algebraic numbers are countable and the real numbers are uncountable. He also gave a [[Cantor's first set theory article|new method]] for constructing transcendental numbers.<ref>{{harvnb|Cantor|1874}}.</ref><ref>{{harvnb|Gray|1994}}.</ref> Although this was already implied by his proof of the countability of the algebraic numbers, Cantor also published a construction that proves there are as many transcendental numbers as there are real numbers.<ref>{{harvnb|Cantor|1878|p=254}}. Cantor's construction builds a [[one-to-one correspondence]] between the set of transcendental numbers and the set of real numbers. In this article, Cantor only applies his construction to the set of irrational numbers.</ref> Cantor's work established the ubiquity of transcendental numbers.
1882년에는 [[페르디난트 폰 린데만]]이 {{수학 변수|π}}의 초월성에 대한 최초의 완전한 증거를 출판했다. 그는 먼저 {{수학 변수|a}}가 0이 아닌 대수적 숫자일 경우 {{수학|''e''<sup>''a''</sup>}}가 초월적이라는 것을 증명했다. 그렇다면 {{수학|''e''<sup>''i''{{pi}}</sup> {{=}} −1}}은 대수적이므로([[오일러의 항등식]] 참조), {{수학|''i''{{pi}}}}는 초월적이어야 한다. 그러나 {{수학|''i''}}가 대수적이기 때문에 {{수학 변수|π}}는 초월적이어야 한다. 이러한 접근 방식은 [[카를 바이어슈트라스]]에 의해 일반화되었는데 오늘날에는 린데만-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. {{수학 변수|π}}의 초월은 [[원적문제]]와 같이 가장 유명한 것을 포함하여 [[컴퍼스와 자 작도]]를 포함한 여러 고대 기하학 구조들이 갖고 있던 불가능성의 증거를 가능하게 했다.
In 1882, [[Ferdinand von Lindemann]] published the first complete proof of the transcendence of {{mvar|π}}. He first proved that {{math|''e''<sup>''a''</sup>}} is transcendental if {{mvar|a}} is a non-zero algebraic number. Then, since {{math|''e''<sup>''i''{{pi}}</sup> {{=}} −1}} is algebraic (see [[Euler's identity]]), {{math|''i''{{pi}}}} must be transcendental. But since {{math|''i''}} is algebraic, {{mvar|π}} therefore must be transcendental. This approach was generalized by [[Karl Weierstrass]] to what is now known as the [[Lindemann–Weierstrass theorem]]. The transcendence of {{mvar|π}} allowed the proof of the impossibility of several ancient geometric constructions involving [[compass and straightedge]], including the most famous one, [[squaring the circle]].
In 1900,1900년에는 [[David다비트 Hilbert힐베르트]]가 posed힐베르트의 an7번째 influential문제인 question초월수에 about대해 transcendental영향력 numbers,있는 [[Hilbert's질문을 seventh problem]]: If던졌다. "{{mvar수학 변수|a}}가 is0이나 an1이 algebraic아닌 number대수적 that is not zero or one, and숫자이고 {{mvar수학 변수|b}}가 is무리수인 an대수적 irrational숫자라면 [[algebraic반드시 number]], is {{math|''a''<sup>''b''</sup>}} necessarily transcendental초월수인가?" The affirmative answer was provided이에 in대한 1934긍정적인 by대답은 the1934년에 [[Gelfond–Schneider겔폰트-슈나이더 theorem정리]].를 This통해 work제공되었다. was이 extended연구는 by1960년대에 [[Alan앨런 Baker (mathematician)|Alan Baker베이커]]가 in진행한 the(대수 1960s수) in로그에서 his선형 work형태의 on하한에 lower대한 bounds연구를 for통해 linear forms in any number of logarithms (of algebraic numbers)확장되었다.<ref>J J O'Connor and E F Robertson: [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Baker_Alan.html Alan Baker]. The MacTutor History of Mathematics archive 1998.</ref>
==Properties==
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