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== 역사 ==
"초월적"이라는 이름은 [[라틴어]]로 "넘어오거나 넘어서거나"를 뜻하는 '트란스켄데레'(transcendĕre)에서 유래되었다.<ref>''Oxford English Dictionary'', [http://www.oed.com/view/Entry/204606 ''s.v.'']</ref> [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠]]는 1682년에 발표한 자신의 논문에서 수학적 개념을 처음 사용했는데 {{수학|1=sin ''x''}}가 {{수학 변수|x}}의 [[대수함수]]가 아니라는 것을 증명했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Leibniz|Gerhardt|Pertz|1858|pp=97–98}}
[[요한 람베르트]]는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 {{수학 변수|e}}([[자연로그의 밑]])와 {{pi}}([[원주율]]) 둘 다 초월수라고 추측했고 [[무리수]]인 {{pi}}의 초월수 증명에 대한 잠정적인 스케치를 제안했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Lambert|1768}}</ref> [[조제프 리우빌]]은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고<ref name="Kempner">{{괄호 없는 하버드 인용|Kempner|1916}}
:<math>
\begin{align}
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\end{align}</math>
{{수학 변수|n}}이 {{수학|1=''k''!}} ({{수학 변수|k}} [[계승]])인 경우에는 소수점 뒤의 {{수학 변수|n}}번째 자리가 {{수학|1=1}}이고 그렇지 않은 경우에는 {{수학|1=0}}이다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant", MathWorld]</ref> 즉 {{수학 변수|n}}이 숫자 {{수학|1=1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24}} 가운데 하나일 경우에만 이 숫자의 {{수학 변수|n}}번째 자릿수가 {{수학|1=1}}이다. 리우빌은 이 숫자가 특정한 무리수인 대수적 수보다 유리수에 의해 보다 가깝게 근사할 수 있는 초월수의 종류에 속한다는 것을 보여주었고 이 종류의 숫자는 그의 이름을 따서 리우빌 수라고 불린다. 리우빌은 모든 리우빌 수가 초월수라는 것을 증명했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Liouville|1851}}
1874년에는 [[게오르크 칸토어]]가 대수적 수들은 셀 수 있고 실수는 셀 수 없다는 사실을 증명했다. 그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Cantor|1874}}
1882년에는 [[페르디난트 폰 린데만]]이 {{수학 변수|π}}의 초월성에 대한 최초의 완전한 증거를 출판했다. 그는 먼저 {{수학 변수|a}}가 0이 아닌 대수적 수일 경우 {{수학|1=''e''<sup>''a''</sup>}}가 초월적이라는 것을 증명했다. 그렇다면 {{수학|1=''e''<sup>''i''{{pi}}</sup> {{=}} −1}}은 대수적이므로([[오일러의 항등식]] 참조), {{수학|1=''i''{{pi}}}}는 초월적이어야 한다. 그러나 {{수학|1=''i''}}가 대수적이기 때문에 {{수학 변수|π}}는 초월적이어야 한다. 이러한 접근 방식은 [[카를 바이어슈트라스]]에 의해 일반화되었는데 오늘날에는 린데만-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. {{수학 변수|π}}의 초월은 [[원적문제]]와 같이 가장 유명한 것을 포함하여 [[컴퍼스와 자 작도]]를 포함한 여러 고대 기하학 구조들이 갖고 있던 불가능성의 증거를 가능하게 했다.
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계산 불가능한 수는 초월수의 엄격한 부분집합이다. 모든 [[리우빌 수]]는 초월적이지만 그 반대는 아니다. 모든 리우빌 수는 지속적인 [[연분수]]에서 제한 없는 부분적인 몫을 가져야 한다. 계산 인수를 사용하면 제한된 부분적인 몫을 가진 초월수가 존재하므로 리우빌 수가 아니라는 것을 증명할 수 있다.
{{수학 변수|e}}의 지속적인 연분수를 사용하여 {{수학 변수|e}}가 리우빌 수가 아니라는 것을 보여줄 수 있다(비록 지속적인 분수의 부분적인 몫은 무한대이다). [[쿠르트 말러]]는 1953년에 {{pi}} 또한 리우빌 수가 아니라는 것을 증명했다. 결국 주기적이지 않은 경계 항을 갖는 모든 무한 연분수는 초월적(결국 주기적인 연분수는 2차 무리수에 해당함)이라고 추측된다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Adamczewski|Bugeaud|2005}}
==Numbers proven to be transcendental==
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