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행렬식: 두 판 사이의 차이

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45번째 줄:
:<math>\operatorname{Mat}(n;K)\cong\underbrace{K^{\oplus n}\oplus\cdots\oplus K^{\oplus n}}_n</math>
 
즉, 행렬 <math>M</math>은 행벡터 <math>u_i=(M_{i1},\dots,M_{in})</math>의 [[튜플]] <math>(u_1\mathbf{u}_1,\dots,u_n\mathbf{u}_n)</math>으로 여기자.
 
[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]의 <math>K</math>-[[가군]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math> 위의 '''행렬식''' <math>\det\colon\operatorname{Mat}(n;K)\to K</math>는 [[단위 행렬]]에서의 값이 1인 유일한 [[교대 다중 선형 형식|교대]] <math>K</math>-[[다중 선형 형식]]이다. 즉, 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수이다.
* ㈀ <math>K</math>-[[다중 선형 형식]]이다. 즉, 임의의 <math>i\in\{1,\dots,n\}</math> 및 행벡터 <math>u_1\mathbf{u}_1,\dots,u_i\mathbf{u}_i,v_i\mathbf{v}_i,\dots,u_n\mathbf{v}_n\in K^{\oplus n}</math> 및 스칼라 <math>a,b\in K</math>에 대하여, <dd><math>
\det(u_1\mathbf{u}_1,\dots,au_ia\mathbf{u}_i+bv_ib\mathbf{v}_i,\dots,u_n\mathbf{u}_n)=a\det(u_1\mathbf{u}_1,\dots,u_n\mathbf{u}_n)+b\det(u_1\mathbf{u}_1,\dots,v_i\mathbf{v}_i,\dots,u_n\mathbf{u}_n)
</math></dd>
* ㈁ [[교대 다중 선형 형식|교대]] <math>K</math>-[[다중 선형 형식]]이다. 즉, 임의의 <math>i,j\in\{1,\dots,n-1\}</math> 및 행벡터 <math>u_1\mathbf{u}_1,\dots,u_n\mathbf{u}_n\in K^{\oplus n}</math>에 대하여, 만약 <math>u_i=u_\mathbf{u}_{i+1}=\mathbf{u}_{j}</math>이라면를 만족하는 <math>i \neq j</math>가 존재한다면, <math>
\det(u_1\mathbf{u}_1,\dots,u_n\mathbf{u}_n)=0</math>
* ㈂ [[단위 행렬]] <math>(e_1\mathbf{e}_1,\dots,e_n\mathbf{e}_n)\in(K^{\oplus n})^{\oplus n}</math>의 행렬식은 <math>\det(e_1\mathbf{e}_1,\dots,e_n\mathbf{e}_n)=1</math>이다.
조건 ㈀ 아래, 조건 ㈁은 다음 조건을 함의하며, 만약 <math>K</math>가 [[환의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]]일 경우 조건 ㈁은 이 조건과 [[동치]]이다.
* ㈁’ 임의의 <math>i\in\{1,\dots,n-1\}</math> 및 행벡터 <math>u_1\mathbf{u}_1,\dots,u_n\mathbf{u}_n\in K^{\oplus n}</math>에 대하여, <math>\det(u_1,\dots,u_\mathbf{u}_{i+1},u_i\mathbf{u}_i,\dots,u_n\mathbf{u}_n)=-\det(u_1\mathbf{u}_1,\dots,u_n\mathbf{u}_n)</math>이다. 즉, 1회 열 교환을 한 행렬의 행렬식은 부호가 바뀐다.
조건 ㈁과 ㈁’은 각각 <math>i,i+1</math> 대신 <math>i,j</math> (<math>i\ne j</math>)를 사용한 조건과 [[동치]]이다. 또한, 조건 ㈁ 아래, 조건 ㈀은 그 <math>i=1</math>인 경우와 [[동치]]이다.
 
마찬가지로, 행렬식은 열벡터를 사용하여 같은 조건으로 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 [[동치]]이다.
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/행렬식"