기저 (선형대수학): 두 판 사이의 차이

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벡터 공간의 [[차원 (벡터 공간)|차원]]은 기저 [[집합의 크기|집합]]의 원소의 개수이다.
 
== 기저의 종류 ==
[[유클리드 공간]] <math>\R^2</math>의 벡터 <math>e_1=(1,0)</math>, <math>e_2=(0,1)</math>은 <math>\R^2</math>의 기저이다. 보다 일반적으로, <math>n</math>차 [[단위행렬]]의 [[열벡터]] <math>e_1,\ldots,e_n</math>은 <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 기저이며, 이를 <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 '''표준기저'''(標準基底, {{llang|en|standard basis}})라고 한다.
 
벡터 공간의 기저는 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, <math>b_1=(1,0)</math>, <math>b_2=(1,1)</math> 역시 <math>\R^2</math>의 기저이다.
 
[[실수]] [[다항식환]] <math>\R[x]</math>는 무한 기저 <math>\{1,x,x^2,\ldots\}</math>을 갖는다.
 
=== 정규직교기저 ===
<math>(V,\|\cdot\|)</math>가 [[순서체]] <math>K</math> 위의 [[노름 공간]]이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 <math>V</math>의 기저 <math>B</math>를 '''정규기저'''({{llang|en|normal basis}})라고 한다.
* 모든 <math>b\in B</math>에 대하여, <math>\|b\|=1</math>
<math>(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>가 [[순서체]] <math>K</math> 위의 [[내적공간]]이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 <math>V</math>의 기저 <math>B</math>를 '''직교기저'''({{llang|en|orthogonal basis}})라고 한다.
* 모든 <math>b,b'\in B</math>에 대하여, 만약 <math>b\ne b'</math>이라면 <math>\langle b,b'\rangle=0</math>
정규기저이자 직교기저인, [[내적공간]]의 기저를 '''정규직교기저'''({{llang|en|orthonormal basis}})라고 한다.
 
이를테면, <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 표준기저는 정규직교기저이다.
 
== 좌표 ==
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만약 <math>\mathfrak{E}</math>가 <math>\mathbb{R}^n</math>의 표준기저이고 <math>\mathfrak{B}</math>가 다른 기저라고 한다면, 기저 <math>\mathfrak{B}</math>에서 <math>\mathfrak{E}</math>로 변환하는 행렬 <math>[I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{E}}</math>의 열 성분은 순서기저 <math>\mathfrak{B}</math>의 열벡터 성분이다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/1012749835|제목=Linear algebra|성=Meckes|이름=Elizabeth S.|성2=Meckes|이름2=Mark W.|날짜=2018|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge, United Kingdom|쪽=199-201|isbn=978-1-107-17790-1}}</ref> 이 점을 이용하여 <math>\mathfrak{B}</math>에서 <math>\mathfrak{B'}</math>로의 기저 변환 행렬을 간편하게 구할 수 있다.
:<math>[I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{B'}}=[I]_{\mathfrak{E}, \mathfrak{B'}}[I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{E}}=([I]_{\mathfrak{B'}, \mathfrak{E}})^{-1}[I]_{\mathfrak{B}, \mathfrak{E}}</math>
 
== 예 ==
[[유클리드 공간]] <math>\R^2</math>의 벡터 <math>e_1=(1,0)</math>, <math>e_2=(0,1)</math>은 <math>\R^2</math>의 기저이다. 보다 일반적으로, <math>n</math>차 [[단위행렬]]의 [[열벡터]] <math>e_1,\ldots,e_n</math>은 <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 기저이며, 이를 <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 '''표준기저'''(標準基底, {{llang|en|standard basis}})라고 한다.
 
벡터 공간의 기저는 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, <math>b_1=(1,0)</math>, <math>b_2=(1,1)</math> 역시 <math>\R^2</math>의 기저이다.
 
[[실수]] [[다항식환]] <math>\R[x]</math>는 무한 기저 <math>\{1,x,x^2,\ldots\}</math>을 갖는다.
 
== 정규직교기저 ==
<math>(V,\|\cdot\|)</math>가 [[순서체]] <math>K</math> 위의 [[노름 공간]]이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 <math>V</math>의 기저 <math>B</math>를 '''정규기저'''({{llang|en|normal basis}})라고 한다.
* 모든 <math>b\in B</math>에 대하여, <math>\|b\|=1</math>
<math>(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>가 [[순서체]] <math>K</math> 위의 [[내적공간]]이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 <math>V</math>의 기저 <math>B</math>를 '''직교기저'''({{llang|en|orthogonal basis}})라고 한다.
* 모든 <math>b,b'\in B</math>에 대하여, 만약 <math>b\ne b'</math>이라면 <math>\langle b,b'\rangle=0</math>
정규기저이자 직교기저인, [[내적공간]]의 기저를 '''정규직교기저'''({{llang|en|orthonormal basis}})라고 한다.
 
이를테면, <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 표준기저는 정규직교기저이다.
 
== 주석과 참고 자료 ==