조르당 표준형: 두 판 사이의 차이

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[[파일:Jordan blocks.svg|right|섬네일|250px|조르당 표준형의 모양. <math>\lambda_i</math>들은 [[고윳값]]이고, 회색 정사각형들은 조르당 블록이라고 한다.]]
[[선형대수학]]에서, '''조르당 표준형'''(Jordan標準型, {{llang|en|Jordan normal form}})은 주어진 [[행렬]]과 [[행렬의 닮음|닮고]], [[대각 행렬]]에 가장 가까운 행렬이다. 임의의 행렬의 조르당 표준형은 그 [[특성 다항식]]이 완전히 [[인수 분해]]되는 [[체 (수학)|체]] 위에서만 존재한다. 특히 [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 임의의 행렬은 조르당 표준형을 가지며, 이는 조르당 블록들을 주대각선 위에 배열하는 순서를 무시하면 유일하다. 조르당 블록의 배열 순서는 정해진 규칙이 없지만, 보기 좋게 하기 위해 일반적으로 같은 고윳값에 대해서는 주기가 높은 순에서 낮은 순이 사용된다.
'''조르당 표준형'''(Jordan標準型, {{llang|en|Jordan normal form}})은 [[선형대수학]]에서 사용하는 [[행렬]]의 [[표준형]] 중 하나로, 주어진 [[행렬]]과 [[닮음행렬|닮고]], [[대각행렬]]에 가장 가까운 행렬이다.
 
프랑스의 수학자 [[카미유 조르당]]의 이름을 땄다.
== 정의 ==
어떤 n차 [[복소수|복소]] [[정사각행렬]] A의 조르당 표준형 J<sub>A</sub>는 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다. 존재성은 증명되어 있다.
 
== 정의 ==
:<math>J_A = \begin{pmatrix}
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> (특히 [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>) 위의 임의의 [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>은 어떤 [[가역 행렬]] <math>G\in\operatorname{GL}(n;K)</math>을 통해 다음과 같은 꼴의 행렬과 [[행렬의 닮음|닮음]]이며, 이는 주대각선 위의 <math>J_i</math>들의 순서를 무시하면 유일하다. 이를 <math>M</math>의 '''조르당 표준형'''이라고 한다.
J_1\\
:<math>G^{-1}MG=
& \ddots\\
&& J_k \endbegin{pmatrix}</math>
J_1 \\
 
& \ddots \\
여기서 각 <math>J_i</math> (1≤i≤k≤n)는 '''조르당 블록'''({{llang|en|Jordan block}})이라 불리는 적당한 크기의 [[정사각행렬]]로,
&& J_k
\end{pmatrix}
</math>
여기서 <math>J_i</math> (<math>i=1,\dots,k</math>)는 다음과 같은 꼴의 [[정사각 행렬]]이며, 이를 '''조르당 블록'''({{llang|en|Jordan block}})이라고 한다.
:<math>J_i =
\begin{pmatrix}
\lambda_i & 1&& \\
& \lambda_i & \ddots \\
&& \ddots & 1 \\
&&& \lambda_i
\end{pmatrix}</math>
\in\operatorname{Mat}(s_i;K)</math>
 
조르당 블록의 대각 성분 <math>\lambda_i</math>들은 <math>M</math>의 [[고윳값]]들이다. 서로 다른 조르당 블록의 대각 성분은 서로 같을 수 있다. 각 고윳값에 대응하는 조르당 블록의 수는 그 고윳값의 [[기하적 중복도]]와 같다. 특히 <math>k</math>는 모든 고윳값의 기하적 중복도의 합이다. 조르당 표준형의 대각선 위에 주어진 고윳값이 등장하는 횟수는 그 고윳값의 [[대수적 중복도]]이다. (물론 그 합은 <math>n</math>이다.) 만약 <math>k=n</math>인 경우 (즉, 모든 조르당 블록의 크기가 1×1인 경우), 조르당 표준형은 [[대각 행렬]]이 된다. 반대로 만약 <math>k<n</math>이라면 (즉, 주대각선 위에 1이 있는 조르당 블록이 존재한다면), 기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작은 고윳값이 적어도 하나 존재하게 되므로 <math>M</math>은 [[대각화 가능 행렬]]이 아니다.
와 같은 꼴인데, <math>\lambda_i</math> 는 모두 같은 대응하는 A의 [[고윳값]]이 된다. 조르당 블록의 개수는 [[일차독립]]인 A의 [[고유벡터]]의 개수와 일치한다.
 
사실 조르당 표준형은 <math>M</math>으로 유도된 <math>K[x]</math>-[[가군]] <math>K^n</math> (<math>x\cdot v=Mv</math>)의 [[으뜸 분해]]
이때, 임의의 행렬 A의 조르당 표준형 <math>J_A</math>에 대하여, 적당한 [[가역행렬]] P가 존재하여 <math>A = P^{-1}J_AP</math> 를 만족한다. 조르당 표준형에서 (j, j-1) 성분에 들어가는 1은 있을 수도, 없을 수도 있다. 1이 하나도 없는 조르당 표준형은 그대로 대각행렬이 된다. 이러한 경우 A는 대각화 가능인데, 이렇게 될 [[필요충분조건]]은 모든 고윳값의 [[대수적 중복도]]를 모두 더한 값과 [[기하적 중복도]]를 모두 더한 값이 n으로 일치하는 것이다. 일반적으로 대수적 중복도의 합이 기하적 중복도의 합보다 같거나 크므로, 기하적 중복도의 합이 대수적 중복도의 합보다 작게 될 경우 대각화 불가능하고, 그 조르당 표준형은 적어도 하나의 (j, j+1) 성분이 1을 가지는 조르당 표준형이 된다.
:<math>K^n\cong\prod_{i=1}^kK[x]/((x-\lambda_i)^{s_i})</math>
에서, <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>v\mapsto x\cdot v</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]
:<math>\{(x-\lambda_1)^{s_1-1},\dots,(x-\lambda_1),1,\dots,(x-\lambda_k)^{s_k-1},\dots,(x-\lambda_1),1\}</math>
에 대한 행렬과 같다.
 
일반적으로 조르당 표준형의 성분들은 복소수일 수도 있고 [[실수]]일 수도 있는데, A가 실수 행렬일 경우 이하에서 설명할 일반적인 방법으로 조르당 표준형을 구할 경우 복소수 성분이 나올 수도 있다. 그러나, (j, j-1) 성분을 사용하여 실수 성분만 가진 행렬을 만들 수도 있다. 이에 대해서는 자세한 설명을 생략한다.
 
=== 실수 조르당 표준형 ===
모든 성분이 실수인 행렬은 복소수 행렬로서 유일한 조르당 표준형을 가지며, 이는 [[특성 다항식]]이 허근을 갖는다면 실수 행렬이 아니다. [[복소수체]]의 [[기약 다항식]]이 1차 다항식들인 반면, [[실수체]]의 [[기약 다항식]]들은 1차 다항식과
:<math>(x-a)^2+b^2\qquad(a,b\in\mathbb R,\;b\ne 0)</math>
꼴의 2차 다항식으로 구성된다. 이 경우 [[으뜸 분해]]의 2차 다항식의 거듭제곱에 대한 성분에 대하여 다른 적절한 기저를 취해서 표준형이 실수 행렬이 되도록 만들 수 있다.
 
구체적으로, 임의의 실수 [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math>에 대하여, [[가역 행렬]] <math>G\in\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>을 통해 다음과 같은 꼴의 행렬과 [[행렬의 닮음|닮음]]이며, 이는 주대각선 위 <math>J_i</math>의 순서를 무시하면 유일하다. 이를 <math>M</math>의 '''실수 조르당 표준형'''(實數Jordan標準型, {{llang|en|real Jordan normal form}})이라고 한다.
:<math>G^{-1}MG=
:<math>J_A = \begin{pmatrix}
J_1 \\
& \ddots \\
&& J_k
\end{pmatrix}
</math>
여기서 <math>J_i</math> (<math>i=1,\dots,k</math>)는 다음 두 가지 중 하나의 형태이다.
* <math>J_i =
\begin{pmatrix}
\lambda_i & 1 \\
& \lambda_i & \ddots \\
&& \ddots & 1 \\
&&& \lambda_i
\end{pmatrix}
\in\operatorname{Mat}(s_i;K)</math>
* <math>J_i=
\begin{pmatrix}
a & -b & 1 & 0 \\
b & a & 0 & 1 \\
&& a & -b & \ddots \\
&& b & a & \ddots & 1 & 0 \\
&&&& \ddots & 0 & 1 \\
&&&&& a & -b \\
&&&&& b & a
\end{pmatrix}
\in\operatorname{Mat}(2s_i;K)</math>
 
== 계산법 ==
# 고윳값에 대응하는 고유벡터
# 각 고유벡터 <math>\mathbf{x}_i</math> 와 그에 대응하는 고윳값 <math>\lambda_j</math> 에 대하여 고유벡터의 <math>(A - \lambda_jI)</math> 에 대한 주기(period)
 
== 성질 ==
어떤 정사각행렬 A에 대해 그 조르당 표준형은 조르당 블록의 배열 순서를 무시하면 유일하게 결정된다. 조르당 블록의 배열 순서는 정해진 규칙이 없지만, 보기 좋게 하기 위해 일반적으로 같은 고윳값에 대해서는 주기가 높은 순에서 낮은 순이 사용된다.
 
== 예 ==