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이라는 등식이 성립된다([[#급수의 계산|앞의 등비급수]]와 비교하라). 3번째 도출 방법은 중학교 1학년생에 의해 고안되었다. 이 학생은 교사가 {{수학|1=0.999… =1}}을 극한으로 정의한 논의에 의문을 가졌으나, [[#위치 기수법의 성질을 이용한 증명|위에서 언급한 {{수학|1=10}}을 곱하는 증명]]을 반대 방향으로 이용해 보려고 했다. 따라서 {{수학|1=''x''= …99}}은 {{수학|1 = 10 '' x '' = … 990}}이므로 {{수학|1=10''x'' = ''x'' - 9}}이 되고 다시 {{수학|1=''x'' = -1}}이 된다.<ref name="Fjelstad11" />
=== 실수의 '이중십진' 표기 ===
실수의 '이중십진' 표기에서는 소수점의 양쪽 모두에서 무한한 숫자열을 허용한다. (단 왼쪽의 숫자열은 결국 순환해야 한다.) p진수에서 참이지만 실수의 십진법 표기에서 참이 아닌 등식 {{수학|1=…999 = -1}}와 p진수에서 거짓이지만 실수의 십진법 표기에서 참인 등식 {{수학|1=0.999… = 1}}은 이중십진 표기에서는 모두 참이다. 2개의 등식 양쪽을 더해서 {{수학|1=…999.999… = 0}}을 얻을 수 있다.<ref>DeSua pp.902-903</ref>
== 일반화 ==
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