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이라는 등식이 성립된다([[#급수의 계산|앞의 등비급수]]와 비교하라). 3번째 도출 방법은 중학교 1학년생에 의해 고안되었다. 이 학생은 교사가 {{수학|1=0.999… =1}}을 극한으로 정의한 논의에 의문을 가졌으나, [[#위치 기수법의 성질을 이용한 증명|위에서 언급한 {{수학|1=10}}을 곱하는 증명]]을 반대 방향으로 이용해 보려고 했다. 따라서 {{수학|1=''x''= …99}}은 {{수학|1 = 10 '' x '' = … 990}}이므로 {{수학|1=10''x'' = ''x'' - 9}}이 되고 다시 {{수학|1=''x'' = -1}}이 된다.<ref name="Fjelstad11" />
 
=== 실수의 '이중십진' 표기 ===
마지막 확장으로서 {{수학|1=0.999… = 1}}(실수에 있어서의 등식)과 {{수학|1=…999 = -1}}({{수학|1=10}}진수에서의 등식)에 있어서 "맹목적으로 기호를 속이는 것을 부끄러워하지 않는다면"(by blind faith and unabashed juggling of symbols)<ref>DeSua p.901</ref> 2개의 등식 양쪽을 더해서 {{수학|1=…999.999… = 0}}을 얻을 수 있다. 이 등식은 더 이상 10진수로서도 통상적인 소수 전개로서도 의미를 갖지 않지만 잘 알려진 체계, 즉 실수를 표현하기 위해 왼쪽으로의 순환도 허용하는 '이중십진'(double-decimals)의 이론을 누군가가 개발하면, 일변하여 이 등식도 의미를 가지며 올바르게 된다.<ref>DeSua pp.902-903</ref>
실수의 '이중십진' 표기에서는 소수점의 양쪽 모두에서 무한한 숫자열을 허용한다. (단 왼쪽의 숫자열은 결국 순환해야 한다.) p진수에서 참이지만 실수의 십진법 표기에서 참이 아닌 등식 {{수학|1=…999 = -1}}와 p진수에서 거짓이지만 실수의 십진법 표기에서 참인 등식 {{수학|1=0.999… = 1}}은 이중십진 표기에서는 모두 참이다. 2개의 등식 양쪽을 더해서 {{수학|1=…999.999… = 0}}을 얻을 수 있다.<ref>DeSua pp.902-903</ref>
 
== 일반화 ==