정의
주 아이디얼 정역
R
{\displaystyle R}
정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
체 계수 일변수 다항식환
K
[
x
]
{\displaystyle K[x]}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
R
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}
가역 행렬
P
∈
GL
(
m
;
R
)
{\displaystyle P\in \operatorname {GL} (m;R)}
Q
∈
GL
(
n
;
R
)
{\displaystyle Q\in \operatorname {GL} (n;R)}
d
1
,
d
2
,
…
,
d
r
∈
R
{\displaystyle d_{1},d_{2},\dots ,d_{r}\in R}
P
A
Q
=
(
d
1
d
2
⋱
d
r
0
(
m
−
r
)
×
(
n
−
r
)
)
{\displaystyle PAQ={\begin{pmatrix}d_{1}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{r}\\&&&&0_{(m-r)\times (n-r)}\\\end{pmatrix}}}
d
i
≠
0
(
i
=
1
,
2
,
…
,
r
)
{\displaystyle d_{i}\neq 0\qquad (i=1,2,\dots ,r)}
d
1
∣
d
2
∣
⋯
∣
d
r
{\displaystyle d_{1}\mid d_{2}\mid \cdots \mid d_{r}}
(여기서
0
(
m
−
r
)
×
(
n
−
r
)
{\displaystyle 0_{(m-r)\times (n-r)}}
(
m
−
r
)
×
(
n
−
r
)
{\displaystyle (m-r)\times (n-r)}
영행렬 이다.) 또한
d
1
,
d
2
,
…
,
d
r
{\displaystyle d_{1},d_{2},\dots ,d_{r}}
가역원 배의 차이를 무시하면 유일하다. 이를
A
{\displaystyle A}
스미스 표준형 이라고 한다.
알고리즘
행렬의 스미스 표준형은 두 행 또는 두 열을 교환하는 연산과 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 구할 수 있다.
R
{\displaystyle R}
유일 인수 분해 정역 이므로, 모든 0이 아닌 원소는 유일한 인수 분해를 갖는다. 임의의
r
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle r\in R\setminus \{0\}}
l
(
r
)
∈
N
{\displaystyle l(r)\in \mathbb {N} }
r
{\displaystyle r}
중복집합 의 크기라고 하자.
우선
R
{\displaystyle R}
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
(
a
b
c
e
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&e\end{pmatrix}}}
을 생각하자.
R
{\displaystyle R}
베주 정역 이므로,
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
최대공약수
d
{\displaystyle d}
d
=
u
a
+
v
b
{\displaystyle d=ua+vb}
u
,
v
∈
R
{\displaystyle u,v\in R}
a
=
d
a
′
{\displaystyle a=da'}
b
=
d
b
′
{\displaystyle b=db'}
u
a
′
+
v
b
′
=
1
{\displaystyle ua'+vb'=1}
(
u
−
b
′
v
a
′
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-b'\\v&a'\end{pmatrix}}}
은 가역 행렬 이며,
(
a
b
c
e
)
(
u
−
b
′
v
a
′
)
=
(
d
0
u
c
+
v
d
−
b
′
c
+
a
′
d
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&e\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&-b'\\v&a'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&0\\uc+vd&-b'c+a'd\end{pmatrix}}}
이다. 마찬가지로, 왼쪽에 가역 행렬 을 곱하여 첫 행 첫 열 성분이
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
최대공약수 이며 둘째 행 첫 열 성분이 0이도록 만들 수 있다.
이제 일반적인
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
{\displaystyle A}
A
=
0
{\displaystyle A=0}
A
{\displaystyle A}
A
≠
0
{\displaystyle A\neq 0}
A
11
≠
0
{\displaystyle A_{11}\neq 0}
i
,
j
=
2
,
…
,
n
{\displaystyle i,j=2,\dots ,n}
A
11
∣
A
i
j
{\displaystyle A_{11}\mid A_{ij}}
A
11
{\displaystyle A_{11}}
A
11
∤
A
i
j
{\displaystyle A_{11}\nmid A_{ij}}
i
,
j
=
2
,
…
,
n
{\displaystyle i,j=2,\dots ,n}
A
11
∤
A
12
{\displaystyle A_{11}\nmid A_{12}}
A
11
∤
A
21
{\displaystyle A_{11}\nmid A_{21}}
A
11
∤
A
12
{\displaystyle A_{11}\nmid A_{12}}
(
A
11
A
12
A
21
A
22
)
Q
~
=
(
A
11
′
0
A
21
′
A
22
′
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}{\widetilde {Q}}={\begin{pmatrix}A'_{11}&0\\A'_{21}&A'_{22}\end{pmatrix}}}
A
11
′
=
gcd
{
A
11
,
A
12
}
{\displaystyle A'_{11}=\gcd\{A_{11},A_{12}\}}
인 가역 행렬
Q
~
{\displaystyle {\widetilde {Q}}}
Q
=
(
Q
~
0
0
1
(
n
−
2
)
×
(
n
−
2
)
)
{\displaystyle Q={\begin{pmatrix}{\widetilde {Q}}&0\\0&1_{(n-2)\times (n-2)}\end{pmatrix}}}
는 가역 행렬 이며, 행렬
A
Q
{\displaystyle AQ}
A
11
′
{\displaystyle A'_{11}}
l
(
A
11
′
)
<
l
(
A
11
)
{\displaystyle l(A'_{11})<l(A_{11})}
을 만족시킨다. (
A
11
∤
A
21
{\displaystyle A_{11}\nmid A_{21}}
가역 행렬 의 왼쪽 곱셈을 통해 첫 행 첫 열의 소인수의 수를 감소시킬 수 있다.) 이와 같은 과정을 반복하면 결국 첫 행 첫 열의 성분이 모든 다른 성분을 나누는 행렬을 얻는다. 이제 첫 행의 적절한 배수를 다른 행에서 더하고 첫 열의 적절한 배수를 다른 열에 더하면
A
{\displaystyle A}
(
d
1
0
0
A
~
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}d_{1}&0\\0&{\widetilde {A}}\end{pmatrix}}}
d
1
∣
A
~
i
j
(
∀
i
,
j
)
{\displaystyle d_{1}\mid {\widetilde {A}}_{ij}\qquad (\forall i,j)}
다시
A
~
{\displaystyle {\widetilde {A}}}
A
{\displaystyle A}
(
d
1
0
0
d
2
A
~
~
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\\&&{\widetilde {\widetilde {A}}}\end{pmatrix}}}
d
1
∣
d
2
∣
A
~
~
i
j
(
∀
i
,
j
)
{\displaystyle d_{1}\mid d_{2}\mid {\widetilde {\widetilde {A}}}_{ij}\qquad (\forall i,j)}
여기서
d
1
∣
d
2
{\displaystyle d_{1}\mid d_{2}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
A
~
{\displaystyle {\widetilde {A}}}
R
{\displaystyle R}
위와 같은 과정을 반복하면 결국 스미스 표준형을 얻는다.
응용 역사 외부 링크 
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
