"스미스 표준형"의 두 판 사이의 차이

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이다. 마찬가지로, 왼쪽에 [[가역 행렬]]을 곱하여 첫 행 첫 열 성분이 <math>a</math>와 <math>c</math>의 [[최대공약수]]이며 둘째 행 첫 열 성분이 0이도록 만들 수 있다.
 
이제 일반적인 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A</math>를 생각하자. 만약 <math>A=0</math>이라면, <math>A</math>는 이미 스스로의 스미스 표준형이다. <math>A\ne 0</math>이라고 가정하자. 행과 열의 교환을 통해, 편의상 <math>A_{11}\ne 0</math>이라고 가정하자. 만약 모든 <math>i,j=2,\dots,n</math>에 대하여 <math>A_{11}\mid A_{ij}</math>라면, 각 열에 첫 열의 배수를 더하고 각 행에 첫 행의 배수를 더하여, 첫 행과 첫 열의 <math>A_{11}</math>을 제외한 모든 성분이 0이 되게 만들 수 있다. 만약 <math>A_{11}\nmid A_{ij}</math>인 <math>i,j=2,\dots,n</math>이 존재한다면, 행과 열의 교환을교환 및 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 <math>A_{11}\nmid A_{12}</math>이거나 <math>A_{11}\nmid A_{21}</math>라고 가정할 수 있다. 편의상 <math>A_{11}\nmid A_{12}</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>
\begin{pmatrix}