라디안: 두 판 사이의 차이

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| symbol3 = r
| symbol4 = {{sup|R}}<ref name="Hall_1909"/>
| extralabel = 단위차원
| extradata = 1 ([[무한분량무차원 단위]])
| units1 = [[밀리라디안]]
| inunits1 = 1,000 밀리라디안
| inunits4 = {{sfrac|200|{{pi}}}} ≈ 63.662<sup>g</sup>
}}
[[파일:Degree-Radian Conversion.svg|섬네일|라디안과 [[도 (각도)|도]]]]
[[파일:Circle_radians.gif|섬네일|1라디안은 [[원 (기하학)|원]]의 [[반지름]]과 길이가 같은 [[호 (기하학)|호]]가 대하는 [[중심각]]의 크기로 정의된다.]]
'''라디안'''({{llang|en|radian}}) 또는 '''호도'''(弧度)는 [[각 (수학)|각]]의 크기를 재는 [[SI 유도 단위]]이다. '''호도법'''이라고도기호는 하며,rad rad를또는 쓰거나<sup>c</sup>이며 생략하는이는 경우가자주 많다생략된다. 어떤 각의 라디안 값은 같은 크기의 [[단위원]] [[중심각]]이 대하는 [[호 (기하학)|호]]의 길이와 같다. 1라디안은 약 57.3[[도 (각도)|도]]이다.
 
[[단위원]]의 [[중심각]]의 라디안 값은 그 각이 대하는 [[호 (기하학)|호]]의 길이와 같으며, 라디안은 [[입체각]]의 단위인 [[스테라디안]]과 함께 [[SI 보조 단위]]에 속했으나, 1995년에 SI 보조 단위가 폐지되면서 [[SI 유도 단위]]가 되었다. 간혹 <sup>c</sup>(위첨자 c) 또는 r 또는 <sup>R</sup>(위첨자 R)와 같은 표기가 대신 사용된다. 예를 들어 1.2라디안은 1.2rad, 1.2, 1.2<sup>c</sup>, 1.2r, 1.2<sup>R</sup>와 같이 표기할 수 있다. 1라디안은 약 57.3[[도 (각도)|도]]이다.
 
== 정의 ==
[[파일:Circle_radians.gif|섬네일|라디안의 정의]]
주어진 평면각의 꼭짓점을 중심으로 하는 반지름 <math>r>0</math>의 원을 생각하자. 이 원에서 평면각이 대하는 호의 길이를 <math>l</math>이라고 하자. 그렇다면 이 평면각의 라디안 값은 호와 반지름의 길이의 비율 <math>\frac{l}{r}</math>로 정의된다. [[원주율]] <math>\pi</math>는 원과 상관 없이 일정하므로, 이 비율은 원의 선택과 무관하다.
평면 위의 각이 주어졌다고 하자. 이 각의 꼭짓점을 중심으로 하는 [[원 (기하학)|원]]을 취하자. 이 원의 반지름을 <math>r>0</math>이라고 하고, 이 원에서 주어진 각이 대하는 호의 길이를 <math>l</math>이라고 하자. [[원주율]]은 모든 원에 대하여 일정하므로, 호의 길이와 반지름의 비
:<math>\frac lr</math>
는 원의 선택과 무관하다. 이를 주어진 각의 '''라디안''' 값으로 정의한다.
 
예를 들어, 평각은 길이가 <math>\pi r</math>인 반원의 둘레를 대하므로 <math>\pi</math> 라디안이다.
예를 들어, 360도는 원의 둘레 전체를 대하므로 <math>2\pi</math>라디안이다. 1도는 <math>2\pi</math>라디안을 360등분한 각이므로 <math>\frac{\pi}{180}</math>라디안이며, 반대로 1라디안은 360도를 <math>2\pi</math>등분한 각이므로 <math>\frac{180}{\pi}</math>도이다.
 
라디안은 길이와 길이의 비율로 정의되므로 [[무차원 단위]]이다. 따라서 때문에 수학에서는 단위 'rad'를 자주 생략한다. 각의 크기를 나타내는 수가 단위 없이 쓰일 때에는 라디안이 가정되며, [[도 (각도)|도]]를 단위로 하여 나타낼 경우 '[[도 기호|°]]'단위를 기호가생략하여도 붙는다좋다.
 
== 성질단위 환산 ==
=== 단위라디안과 변환 ===
라디안과 [[도 (각도)|도]] 사이의 환산은 다음과 같다.
[[파일:Degree-Radian Conversion.svg|섬네일|도와 라디안 사이의 변환]]
:<math>1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}\pi\approx 57.2958^\circ</math> {{OEIS|A072097}}
라디안과 [[도 (각도)|도]] 사이의 변환은 다음과 같다.
:<math>1^\circ=\frac\pi{180}\operatorname{rad}\approx 0.0175\operatorname{rad}</math> {{OEIS|A019685}}
{| class="wikitable
! 라디안
! 도
|-
| 1rad
| {{sfrac|180|π}}°=57.2957...° {{OEIS|A072097}}
|-
| {{sfrac|π|180}}rad=0.0175...rad
| 1°
|}
 
=== 라디안과 [[그레이드 (각도)|그레이드]] 사이의 변환은 다음과 같다.===
라디안과 [[그레이드 (각도)|그레이드]] 사이의 환산은 다음과 같다.
{| class="wikitable
:<math>1\operatorname{rad}=\frac{200^{\operatorname g}}\pi\approx 63.6620^{\operatorname g}</math> {{OEIS|A060294}}
! 라디안
:<math>1^{\operatorname g}=\frac\pi{200}\operatorname{rad}\approx 0.0157\cdots\operatorname{rad}</math> {{OEIS|A019669}}
! 그레이드
|-
| 1rad
| {{sfrac|200|π}}<sup>g</sup>=63.6619...<sup>g</sup> {{OEIS|A060294}}
|-
| {{sfrac|π|200}}rad=0.0157...rad
| 1<sup>g</sup>
|}
 
=== 자주 쓰이는 각들의 단위 변환은 다음과 같다.===
자주 쓰이는 각들의 단위 환산은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! [[바퀴 (각도)|바퀴]]
! 라디안 (rad)
! [[도 (각도)|도]] (°)
! 도
! [[그레이드 (각도)|그레이드]] (<sup>g</sup>)
|-
|-
| 0
| 0
| 0°
| 0
| 0<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 1{24}</math>
| {{sfrac|1|24}}
| <math>\frac\pi{12}</math>
| {{sfrac|π|12}}
| 15°
| <math>16\frac 23</math>
| {{sfrac|16|2|3}}<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 1{12}</math>
| {{sfrac|1|12}}
| <math>\frac\pi 6</math>
| {{sfrac|π|6}}
| 30°
| <math>33\frac 13</math>
| {{sfrac|33|1|3}}<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 1{10}</math>
| {{sfrac|1|10}}
| <math>\frac\pi 5</math>
| {{sfrac|π|5}}
| 36°
| 40<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 18</math>
| {{sfrac|1|8}}
| <math>\frac\pi 4</math>
| {{sfrac|π|4}}
| 45°
| 50<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 16</math>
| {{sfrac|1|6}}
| <math>\frac\pi 3</math>
| {{sfrac|π|3}}
| 60°
| <math>66\frac 23</math>
| {{sfrac|66|2|3}}<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 15</math>
| {{sfrac|1|5}}
| <math>\frac{2\pi}5</math>
| {{sfrac|2π|5}}
| 72°
| 80<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 14</math>
| {{sfrac|1|4}}
| <math>\frac\pi 2</math>
| {{sfrac|π|2}}
| 90°
| 100<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 13</math>
| {{sfrac|1|3}}
| <math>\frac{2\pi}3</math>
| {{sfrac|2π|3}}
| 120°
| <math>133\frac 13</math>
| {{sfrac|133|1|3}}<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 25</math>
| {{sfrac|2|5}}
| <math>\frac{4\pi}5</math>
| {{sfrac|4π|5}}
| 144°
| 160<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 12</math>
| {{sfrac|1|2}}
| <math>\pi</math>
| π
| 180°
| 200<sup>g</sup>
|-
| <math>\frac 34</math>
| {{sfrac|3|4}}
| <math>\frac{3\pi}2</math>
| {{sfrac|3π|2}}
| 270°
| 300<sup>g</sup>
|-
| 1
| <math>2\pi</math>
| 2π
| 360°
| 400<sup>g</sup>
|}
 
=== 미적분학응용 ===
=== 삼각 함수의 미분 ===
[[사인 함수]]와 [[코사인 함수]]는 독립 변수를 라디안으로 간주한다. 이 경우 다음과 같은 미분 공식이 성립한다.
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin x=\cos x</math>
이 공식들은 다른 각의 단위를 사용할 때보다 깔끔하다. 예를 들어, 도를 단위로 하는 사인 함수 <math>f(x)=\sin(180x/\pi)</math>와 코사인 함수 <math>g(x)=\cos(180x/\pi)</math>를 정의할 경우, 미분 공식에는 다음과 같이 불필요한 계수가 붙는다.
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)=\frac{180}\pi g(x)</math>
 
=== 호의 길이와 부채꼴의 넓이 ===
원의 반지름을 <math>r</math>, 원의 호의 길이를 <math>l</math>, 호가 대하는 중심각의 라디안을 <math>\theta</math>라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호의 길이 공식이 성립한다.
:<math>l=r\theta</math>
또한, 다음과 같은 부채꼴의 넓이 공식이 성립한다.
:<math>A=\frac 12r^2\theta</math>
[[사인 함수]]와 [[코사인 함수]]는 독립 변수를 라디안으로 간주한다. 이 경우 다음과 같은 도함수 공식이 성립한다.
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin x=\cos x</math>
이 공식들은 다른 각의 단위를 사용할 때보다 깔끔하다. 예를 들어, 도를 단위로 하는 사인 함수 <math>f(x)=\sin(180x/\pi)</math>와 코사인 함수 <math>g(x)=\cos(180x/\pi)</math>를 정의할 경우, 도함수 공식에는 다음과 같이 불필요한 계수가 붙는다.
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)=\frac{180}\pi g(x)</math>
 
==단위원==
라디안의 정의에 따라서 반지름이 1인 [[단위원]](unit circle)상에서의 라디안은 곧 원둘레상의 [[호 (기하학)|호]](arc)의 길이가 된다.
 
== 역사 ==
[[입체각]]의 단위 [[스테라디안]]과 함께 [[SI 보조 단위]]에 속했었다. 1995년에 SI 보조 단위가 폐지되면서 [[SI 유도 단위]]가 되었다.
 
== 같이 보기 ==
* [[밀리라디안]]
* [[스테라디안]]
*[[활꼴]]
 
== 각주 ==
{{각주}}
== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}