아벨-디니-프링스하임 판정법: 두 판 사이의 차이
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==증명==
이 정리의 증명은 크게 두 경우로 나누어 진행할 수 있다.
===r이 1보다 같거나 작은 경우===
이 경우 <math>r</math> 이 <math>1</math> 인 경우만 증명하면 [[비교 판정법]]에 의하여 나머지는 자명하다. 이를 가정하자. 그리고 임의의 <math>n</math> 번째 항부터 <math>n + k</math> 번째 항까지를 나열하면,
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===r이 1보다 큰 경우===
이 경우에는 아래에 나오는 프링스하임 판정법을 이용하면, 비교 판정법에 의해 명백하다.
==프링스하임 판정법==
아벨-디니 판정법과 유사한 형태를 가진 판정법으로 '''프링스하임 판정법'''(Pringsheim's Test)이 있다. 이 판정법은 다음과 같은 형태를 가지는데, 아벨-디니
*양수항 [[수열]] <math>{a_n}</math> 에 대하여, 급수 <math>S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k</math> 가 <math>n</math> 이 무한대로 갈 때 발산한다고 가정하자.
*그러면, 새로운 수열 <math>b_n = \frac{a_n}{(S_n)(S_{n-1})^r}</math> 에 대하여, <math>\sum_{k=2}^\infty b_k</math> 는 <math>r > 0</math> 일 때 수렴한다.
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위 아벨-디니 판정법에서, <math>r</math>이 <math>1</math>인 경우에도 <math>b_n</math>은 발산한다. 실제로 이 때에 그 발산성은,
*<math>b_n</math> '''~''' <math>logS_n</math>
와 같이 된다. 즉, <math>n</math> 이 무한대로 가는 극한에서 이 두 수열의 비가 1이 된다.
이는 간단하게 보일 수 있다. 먼저, 아벨-디니 판정법으로부터 보장된 발산성과 기본적인 극한의 성질에 의하여,
:<math>\frac{b_n}{log\frac{1}{1-x_n}}</math>
은 <math>n \rightarrow \infty</math>에서 <math>1</math> 로 수렴한다. 그런데,
:<math>\frac{1}{1-b_n}} = \frac{S_n}{S_{n-1}}</math>
이므로, 위 식은,
:<math>\frac{b_n}{log\frac{S_n}{S_{n-1}}}</math>
처럼 다시 쓸 수 있다. 이제 여기에 [[슈톨츠-체사로 정리]]를 적용하면, 다음과 같은 수열
:<math>\frac{\sum_{k=1}^{n} b_k}{logS_n}</math>
역시 <math>1</math> 로 수렴하게 된다.
==같이 보기==
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