해석 함수: 두 판 사이의 차이

내용 삭제됨 내용 추가됨
Jkimath (토론 | 기여)
Jkimath (토론 | 기여)
16번째 줄:
이다.
 
복소해석함수의 정의는 위의 정의에서 수직선을 복소평면으로, 실함수를 복소함수로, 급수에서 <math>a_n \in \mathbb{R}</math> 를 <math>a_n \in \mathbb{C}</math>로 바꾸면 된다. 다만 복소평면에서의 근방이란 면적을 갖는 열린집합이라는 사실에 유의해야 한다. 복소해석함수도 실해석함수와 마찬가지로 무한번 [[미분가능]]하며, [[테일러급수]]로 나타낼 수 있다. 복소해석함수는 [[코시-리만 방정식]]을 만족한다. 복소수 평면 <math>\mathbb{C}</math> 전체에서 해석적인 함수를 특별히 [[전함수]](全函數, entire function)라고 한다.
 
===예===
----
기본 함수들 - [[다항함수]], [[삼각함수]], [[지수함수]], [[로그함수]] 등 -은 수직선(또는 복소평면)의 특정영역에서 해석적이다. 다음은 해석함수의 예이다.
 
**<math>n</math>차 [[다항함수]](실 또는 복소다항함수 모두) <math> p(x)=a_0 +a_1x + a_2 x^2 +\cdots +a_nx^n</math> 는 급수 <math>\sum_{j=0}^{\infty} a_j x^n</math> 에서 <math>j>n</math>일 때 <math>a_j=0</math>인 경우로 생각할 수 있다.
 
**[[지수함수]] <math>e^x</math>는 점 <math>x_0 \in \mathbb{R},</math> (또는 <math>\mathbb{C}</math>)에서 급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{x_0}}{n!}(x-x_0)^n </math> 로 나타낼 수 있다.
 
그러나 모든 함수가 해석함수인 것은 아니다. 예를 들어 실함수 <math> f (x)=|x|</math>는 <math>x=0</math>에서 미분가능하지 않으므로 해석적이지 않다. 또한 복소함수 <math>f(z)=\overline{z}</math>는 복소평면 위의 어떤 점에서도 해석적이지 않다.