"대수학의 기본 정리"의 두 판 사이의 차이

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'''대수학의 기본 정리'''(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소복소계수 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다. 즉, 복소복소계수 다항식
 
:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1</math>
:<math>|p(z)|=\left|z^{n}(a_n+\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n})\right| \ge |z|^{n}\left||a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|\right| \cdots\cdots(a)</math>
 
얻고, <math>C = |a_{n-1}|+\cdots+|a_0|</math>라 하면, 양수 <math>M >1 </math>에 대해 <math>|z|\ge M</math>이면
 
:<math>\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right| \le \frac{|a_{n-1}|}{|z|}+\cdots+\frac{|a_0|}{|z|^n} \le \frac{|a_{n-1}|+\cdots+{|a_0|}}{|z|}\le \frac C M</math>
:<math> p(z)=a_n(z-z_1)p_1(z)</math>
 
와 같이 쓸 수 있다. 그런데 <math> p_1(z)</math> 은 <math> (n-1) </math> 차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(이 때 대수학의 기본 정리정리를 반복적으로 적용하여 보조정리를 증명할이용한다) 증명이 있다끝난다.
 
[[분류:추상대수학]]

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