해석 함수: 두 판 사이의 차이

 

 

수직선 위의 [[열린집합]] <math>D</math>에서 정의된 실함수 <math>f</math> 가 해석함수라 함은 <math>f</math>가 <math>D</math> 안의 모든 점에서 해석적임을 말한다. 또 <math>f</math> 가 한 점 <math>x_0 \in D</math>에서 해석적이라 함은 <math>x_0</math> 근방에서 수렴하는 급수가 존재하여

 

복소해석함수의 정의는 위의 정의에서 수직선을 복소평면으로, 실함수를 복소함수로, 급수에서 <math>a_n \in \mathbb{R}</math> 를 <math>a_n \in \mathbb{C}</math>로 바꾸면 된다. 다만 복소평면에서의 근방이란 면적을 갖는 열린집합이라는 사실에 유의해야 한다. 복소해석함수도 실해석함수와 마찬가지로 무한번 [[미분가능]]하며, [[테일러급수]]로 나타낼 수 있다. 복소해석함수는 [[코시-리만 방정식]]을 만족한다. 복소수 평면 <math>\mathbb{C}</math> 전체에서 해석적인 함수를 특별히 [[전해석함수]](entire function)라고 한다.

 

기본 함수들 - [[다항함수]], [[삼각함수]], [[지수함수]], [[로그함수]] 등 -은 수직선(또는 복소평면)의 특정영역에서 해석적이다. 다음은 해석함수의 예이다.