"대수학의 기본 정리"의 두 판 사이의 차이

잔글
문서 정리
잔글 (문서 정리)
 
에 대해 <math> p(a)=0</math> 인 복소수 <math> a </math> 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다.
 
 
이 정리는 [[복소수체]]가 [[실수체]]와는 달리 대수적으로 닫혀 있음을 뜻한다.
==따름정리==
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 '''따름정리'''를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다.
----
 
'''(따름정리)''' 모든 <math>n</math>차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 <math>n</math>개의 근을 갖는다.
 
따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식
:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1</math>
와 같이 쓸 수 있다.
 
===증명===
'''(따름정리의 증명)''' 대수학의 기본 정리에 의해 <math> p(z_1)= 0\,</math>인 점 <math> z_1\,</math>이 존재하므로
 
'''(따름정리의 증명)''' 대수학의 기본 정리에 의해 <math> p(z_1)= 0\,</math>인 점 <math> z_1\,</math>이 존재하므로
:<math> p(z)=a_n(z-z_1)p_1(z)\,</math>
 
와 같이 (<math>a, b</math>는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.
 
'''(===실계수 다항식의 근의 켤레성)'''===
 
'''(실계수 다항식의 근의 켤레성)'''
만일<math>z_0\,</math>가 실계수 다항식
:<math> p(z)=a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1 z +a_0,\,\,\,a_j \in \mathbb{R},\,\,n\ge 1,\,\,a_n\neq 0</math>
의 복소수 근이면 즉, <math> p(z_0)=0\,</math>이면 <math> p(\overline{z_0})=0\,</math>이다.
 
====증명====
(증명) [[복소켤레|복소켤레 연산의 성질]]에 의해
 
(증명) [[복소켤레|복소켤레 연산의 성질]]에 의해
:<math> p(\overline{z_0})=a_n \overline{z_0}^n + a_{n-1}\overline{z_0}^{n-1}+\cdots+a_1 \overline{z_0} +a_0 </math>
 
 
이다.
 
 
대수학의 기본정리와 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.
 
 
 
[[분류:추상대수학]]