해밀턴 역학: 두 판 사이의 차이
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[[파일:WilliamRowanHamilton.jpeg|right|thumb|200px|해밀턴 역학의 창시자, 윌리엄 로원 해밀턴 경.]]
{{고전역학}}
'''해밀턴 역학'''({{lang|en|Hamiltonian mechanics}})은 [[아일랜드]]의 수학자 [[윌리엄 로원 해밀턴]]이 기존의 [[고전역학]]의 이론이였던 [[뉴턴 역학]]과 [[라그랑주 역학]] 새롭게 재정립한 이론으로 1833년에 처음 소개되었다. 라그랑주 역학은 n차원 [[좌표공간]]상의 2차 [[미분방정식]]을 사용하여 문제를 해결하지만, 해밀턴 역학은 2n차원 [[
처음 라그랑주 역학이 등장했을 때와 마찬가지로, 해밀턴 역학 또한 고전역학의 문제를 바라보는 새로운 관점을 제공해 주었다. 대체로, 이 방법은 개별문제를 푸는 데는 많은 도움이 되지 않는다. 하지만, 해밀턴 역학의 놀라움은 여기에 있지 않다. 해밀턴 역학은 개별 문제를 푸는 데는 많은 도움을 주지 않지만, [[고전역학]]이라는 것의 구조를 이해하는 것과 이 이후의 [[양자역학]], [[통계물리학]]과 같은 여러 현대물리학의 분야들을 이해하는 데 도움을 준다.
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== 해밀턴의 원리로부터 해밀턴 방정식의 유도 ==
해밀턴 방정식은 [[해밀턴의 원리]]로부터 얻을수도 있다. 먼저 해밀턴의 원리에서의 [[
:<math>S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt </math>
여기서, [[라그랑지안]] <math>L</math>에 [[해밀토니안]] <math>H</math>의 [[르장드르 변환]] <math>\textstyle L = \sum_i p_i \dot{q}_i - H</math>를 대입하면 다음과 같은 [[
:<math>S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i p_i dq_i - H dt \right] </math>
이 작용에 변분을 취하면
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:<math>p_i \delta \dot{q}_i = {d \over dt} p_i \delta q_i - \dot{p}_i \delta q_i</math>
따라서 이를 대입하고 각 좌표의 변분을 묶어주면 작용의 변분은 다음과 같이 된다.
:<math>\delta S[\mathbf{q}(t)] = \left. p_i \delta q_i \right|_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i \left\{
여기서, 첫번째 항은 위치의 변분은 양 끝에서 0이다는 조건에 의해 0이 되고 나머지 뒤 항에선 작용의 변분이 0이 되어야 하므로, 위치와 운동량의 변분의 계수가 0이 되어야 함을 알 수 있다. 여기에서 해밀턴 방정식을 얻을 수 있다.
:<math>\dot{q}_i = ~~{\partial H \over \partial p_i}</math>
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[[it:Meccanica hamiltoniana]]
[[ja:ハミルトン力学]]
[[ml:ഹാമില്ട്ടോണിയന് ബലതന്ത്രം]]
[[nl:Hamiltonformalisme]]
[[no:Hamiltonmekanikk]]
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