체비쇼프 부등식: 두 판 사이의 차이

* 값들 중 평균값으로부터 k 표준 편차 이상 떨어진 것들은 1/''k''² 이상 차지하지 않는다.

 

이 부등식은 [[측도]] 를 사용하여 상당히 일반적으로 나타낼 수 있다; 그렇다면 확률론의 언어로 나타낸 식은 측도 1의 공간을 위한 특정 사례로써 따르게 된다.

 

[[측도 공간]] (''X'',Σ,μ)와, ''X'' 상에 정의된 [[확장된 실수]]값을 갖고 [[잴 수 있는 함수]] ''f''가 있다고 하자. 그렇다면 어떤 실수 ''t'' > 0에 대해서도 다음 부등식이 성립한다:

 

로써 정의하고 ''f'' 대신 |''f''| 를 취함으로써 따르게 된다 .

 

 

[[기대값]]이 μ이고 분산이 σ²인 [[확률 변수]] ''X''가 있다고 하자. (이때, 분산은 유한한 값이다) 그러면 어떠한 [[실수]] ''k'' > 0에 대해서도 다음 부등식이 성립한다.

체비쇼프의 부등식은 [[큰 수의 법칙|큰 수의 약한 법칙]]을 증명하기 위하여 사용된다.

 

구체적인 예를 들면, 출판물에서의 문서들과 같이 많은 분량의 텍스트를 가지고 있다고 가정하자. 이 문서들이 평균 1000 글자 길이로 200 글자의 [[표준편차]]를 가진다는 것을 우리가 알고 있다고 가정하자. 체비쇼프의 부등식으로부터 우리는 모든 문서 중 최소한 75%는 길이가 600에서 1400 글자 (''k'' = 2) 사이라는 것을 추론할 수 있다.

 

A one-tailed variant with ''k'' > 0, is

 

체비쇼프 부등식의 one-sided version 은 칸텔리 부등식이라 불리며 [[Francesco Paolo Cantelli]] 으로부터 기인한다.

 

''A''_''t'' 가 ''A''_''t'' = {''x'' ∈ ''X'' | ''f''(''x'') ≥ ''t''} 로 정의된다고 가정하고, :<math>1_{A_t}</math>

가 ''A''_''t'' 집합의 [[표시 함수]]라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 확인하는 것은 쉬운 일이다

원하는 부등식은 위의 부등식을 ''g''(''t'') 로 나눔으로써 따르게 된다.

 

[[마르코프 부등식]]은 어떤 실수값 확률 변수 ''Y''와 그 어떤 양수 ''a'' 에 대해서도, Pr(|''Y''|&nbsp;>&nbsp;''a'') ≤ E(|''Y''|)/''a''가 성립한다는 부등식이다. 마르코프 부등식을 확률 변수 ''Y''&nbsp;=&nbsp;(''X''&nbsp;−&nbsp;μ)² 에 ''a'' = (σ''k'')²에 적용하면 체비쇼프 부등식을 증명할 수 있다.

 

이 직접 증명은 왜 한계가 일반적 경우에서 매우 느슨한지를 보여준다: "≥" 의 좌측에 있는 숫자 1은 "≥" 의 우측의 [(''X''&nbsp;−&nbsp;μ)/(''k''σ)]² 의 값이 1을 초과할 때마다 이 값으로 교체된다. 어떤 경우에는 매우 넓은 차이를 두고 1을 초과한다.

 

 

{{토막글|수학}}

[[fi:Tšebyšovin epäyhtälö]]

[[fr:Inégalité de Bienaymé-Tchebychev]]

[[it:Disuguaglianza di Čebyšëv]]

[[ja:チェビシェフの不等式]]