"조화 진동자"의 두 판 사이의 차이

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운동 방정식을 다음과 같이 쓴다.
:<math>\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0</math>
이 방정식의 해는 다음과 같이 알려져 있다알려졌다.<ref>{{서적 인용 |저자= Dennis. G. Zill|공저자= Michael R. Cullen|제목= Advanced Engineering Mathematics|꺾쇠표= |발행년도=2006|출판사= Jones & Bartlett Pub|판=Third Edition|쪽=p. 120}}</ref>
:<math>x(t) = C_1 \sin \omega_0 t + C_2 \cos \omega_0 t</math>
여기서 <math>C_1</math>와 <math>C_2</math>는 상수로 초기 조건에 따라 결정되는 값이다. 좀 더 식에 물리학적 의미를 부여하기 위해 다음과 해를
:<math>x(t) = A \cos \left( \omega_0 t + \phi \right)</math>
::( 또는 <math>x(t) = A \sin \left( \omega_0 t + \phi \right)</math> )
로 나타내기도 한다. 여기서 <math>A</math>는 [[진폭]], <math>\phi</math>는 진동의 [[위상]]을 의미하는 상수로 위와 마찬가지로 초기 조건에 따라 결정되는 값이다. 이 식에서 <math>\omega_0</math>의 물리적 의미를 찾으면 이 값이 [[각진동수]]를 의미함을 알 수 있다. 그리고 이 운동의 속도와 가속도는 다음과 같다.
:<math>v(t) = -A\omega_0 \sin \left( \omega_0 t + \phi \right)</math>
:<math>a(t) = -A\omega_0^2 \cos \left( \omega_0 t + \phi \right)</math>
 
=== 상도표 ===
[[파일:Phase_diagram_simple_ho.png|right|thumb|300px|단순조화진동에서 [[에너지]]가 다른 경우 몇가지를몇 가지를 나타낸 [[상도표]]]]
단순조화진동의 운동은 위치 <math>x(t)</math>와 속도 <math>\dot{x}(t)</math>로 기술되는 [[위상공간 (물리학)|위상공간]]을 통해서도 나타낼 수 있다. 단순조화진동은 다음과 같이 위치와 속도로 기술 할기술할 수 있다.
:<math>x(t) = A \cos \left( \omega_0 t + \phi \right)</math>
:<math>\dot{x}(t) = -A\omega_0 \sin \left( \omega_0 t + \phi \right)</math>
[[Image:Harmonic oscillator.svg|thumb|right|250px|[[용수철]]과 [[질량]]이 있는 물체로 이루어진 [[계_(물리학)|계]]. (A)는 평형점, (B)는 압축된 상태, (C)는 당겨진 상태의 힘의 방향을 보여준다.]]
용수철의 운동은 단순조화운동의 가장 대표적인 예이다. [[용수철]]이 망가지지 않는 범위에서 질량이 <math>m</math>인 물체를 사용해 용수철을 변형 시키면변형시키면 [[훅의 법칙]]에 의한
:<math>F = - kx</math>
꼴의 [[복원력]]을 받는다. 여기서 <math>F</math>는 용수철에 의한 힘, <math>k</math>는 용수철 상수, <math>x</math>는 평형점으로부터 용수철이 변형된 변위이다. 따라서 이 힘을 제외한 다른 외력이 작용하지 않는 경우, 용수철은 단순조화진동을 하게 된다.
구체적으로는 [[뉴턴의 제2법칙]]을 사용해
:<math>F = ma = -kx</math>
이 물체의 운동에 대한 운동방정식을 만들 수 있고, 초기에 <math>A</math>에 위치해자리 잡고 있고 정지해 있는 경우에있으면 이 운동의 해는 다음과 같이
:<math> x \left( t \right) =A\cos \textstyle \sqrt {k \over m} t</math>
[[코사인]]함수로 나타나며, 따라서 이 물체는 용수철에 의해 좌우로 진동함을 알 수 있다.
가 된다. 단순조화운동의 방정식과 위 식을 비교해보면 정확히 일치함을 알 수 있다.
 
여기서 이 진자의 주기는 줄의 길이 <math>\ell</math>와 [[중력 가속도]] <math>g</math>와 관련이 있다. 그리고 위의 용수철에 대한 주기와 비슷한 형태를 가지고보이고 있다.
 
:<math> T= 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}</math>
이 계의 해밀토니안은 다음과 같이 간단한 꼴이 되고
:<math>H = \frac{f(P)^2}{2m} (\cos^2 Q + \sin^2 Q ) = \frac{f(P)^2}{2m}</math>
좌표 <math>Q</math>는 [[순환좌표]]가 된다. 다만, 이 방법의 문제점은 어떻게 <math>f(P)</math>를 결정하여 이 변환을 [[정준변환|정준]]이 되게 만들 수 있느냐이다. 다음과 같은 [[모함수_(물리학)|모함수]]를 사용하면,
:<math>F_1 = {m \omega_0 q^2 \over 2} \cot Q </math>
아래의 변환에 대한 방정식을 얻을 수 있다,
:<math>q = \sqrt{\frac{2E}{m \omega_0^2 }} \sin (\omega_1 t + \alpha)</math>
:<math>p = \sqrt{2mE} \cos (\omega_1 t + \alpha )</math>
이다. 그리고 이에대한이에 대한 [[위상공간 (물리학)|위상공간]] <math>(p,q)</math> 에서의 상도표는 자연스럽게 타원이 됨을 알 수 있다.<ref>{{서적 인용 |저자=Herbert Goldstein|공저자=Charles Poole, John Safko|제목= Classical Mechanics|꺾쇠표= |발행년도=2002|출판사=Addison Wesley|판=Third Edition|쪽=p. 377-9|장=9.3 The Harmonic Oscillator}}</ref><ref>문희태(2006), 《개정판 고전역학》, 서울 : 서울대학교출판부, 291-2쪽</ref>
 
== 강제진동 ==
강제진동의 운동 방정식은 외력을 <math>F(t)</math>라 하면 다음과 같은 [[비동차 미분방정식]]으로 주어진다.
:<math>m \ddot{x} + kx = F(t)</math>
이 운동의 해는 위 방정식의 [[동차 미분방정식]] 부분인 단순조화진동의 일반해 <math>x_h(t)</math>와 외력 <math>F(t)</math>와 관계있는 특수해 <math>x_p(t)</math>의 합으로 주어진다준다.<ref>문희태(2006), 《개정판 고전역학》, 서울 : 서울대학교출판부, 174쪽</ref>
:<math>x(t) = x_h (t) + x_p (t)</math>
 
==== 외력이 주기적 힘인힘일 경우 ====
여기서, 외력이 다음과 같이
:<math>F(t) = B cos (\omega_1 t + \alpha) </math>
여기서 외력의 각진동수 <math>\omega_1</math>가 단순조화운동의 각진동수 <math>\omega_0</math>에 가까워 지면 진동의 진폭이 점점 커짐을 알 수 있다.<ref>문희태(2006), 《개정판 고전역학》, 서울 : 서울대학교출판부, 175쪽</ref>
<!-- 여기서 <math>\omega_1</math>가 <math>\omega_0</math>에 매우 가까워 지면 어떤 현상이 일어나는지 알아보기 위하여 -->
==== 외력이 일반적인 힘인힘일 경우 ====
외력이 시간에 따라 변하는 임의의 힘인 경우 일 때는힘이라면, <math>\xi = \dot{x} + i \omega_0 x </math> 라는 양을 정의해 문제를 해결한다. 이 때이때, 운동방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다보인다.
:<math>\dot \xi - i \omega_0 \xi = {F(t) \over m}</math>
그리고 이 운동의 해는 위 미분방정식을 푼 뒤풀고서, 허수부를 <math>\omega_0</math>로 나누어 주면 운동 방정식의 특수해 <math>x_p(t)</math>를 얻을 수 있다. 특수해를 <math>\xi = C(t) e^{i \omega_0 t}</math>라 하면, <math>C(t)</math>가 만족시켜야만족하게 해야 하는 방정식은 다음과 같다.
:<math>\dot C = {F(t) \over m} e^{i\omega_0 t}</math>
위 방정식을 풀면, 이 운동의 특수해는 다음과 같아야 함을 알 수 있다.
여기서 <math>\xi_0</math>는 초기조건에 따라 결정되는 값이다.
 
이 경우, 시간에 따라 변하는 외력이 존재하기 때문에 에너지는 보존되지 않는다. 이를 통해 계에 전달되는 에너지의 양은 초기에 진동이 멈춰있는멈춰 있는 경우 (즉, <math>x = 0</math> , <math>\dot{x} = 0</math>. 그러므로, <math>x_h (t) = 0</math> 이고 <math>\xi_0 = 0</math> 이다.) 계의 총 에너지 E 는 다음과 같이 <math>\xi</math>를 사용하여 나타낼 수 있다.
:<math>E = {1 \over 2} m (\dot{x}^2 + \omega_0^2 x^2 ) = {1 \over 2 } m | \xi |^2</math>
힘이 작용하지 않았을 때를 <math>F(t) = 0 </math>라 정의하면, 전달된 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>E = {1 \over 2m } \left| \int_{-\infty}^{\infty} {F(t) e^{-i \omega t} \, dt}\right|^2</math>
맨 뒤 항의 적분은 외력의 [[푸리에 변환]]에 해당하므로, 여기서 유입된 에너지는 외력에 포함된 여러 진동수중진동수 중, 단순조화진동일때의단순조화진동일 때의 진동수 성분의성분 크기의 제곱에 의해 결정된다.<ref>문희태(2006), 《개정판 고전역학》, 서울 : 서울대학교출판부, 177-8쪽</ref>
 
== 감쇠진동 ==
[[파일:Damped spring.gif|right|100px|thumb|감쇠가 있는 [[용수철]]의 진동. 이 경우에는 저감쇠진동을 하고 있다.]]
속도에 비례하는 마찰력이 존재할 경우, 이러한 조건 하에서의조건에서의 진동을 '''감쇠진동'''({{lang|en|damped oscillation}})이라 한다. 실제 이상적이 아닌 상황에선 항상 마찰이 존재하기 때문에 모든 진동은 감쇠진동을 한다고 볼 수 있다.
 
=== 운동 방정식 ===
이 식을 질량 <math>m</math>으로 나누고, <math>\textstyle 2\lambda = {b \over m} </math> , <math>\textstyle \omega_0^2 = {k \over m}</math>라 놓으면 위 식은 다음과 같은 식이 된다.
:<math>\ddot{x} + 2 \lambda \dot{x} + \omega_0^2 x = 0</math>
위의 미분방정식은 <math>\textstyle e^{ct} </math> 꼴의 해를 항상 존재하는 것으로 알려져 있다알려졌다. 이를 위에 대입하면 가능한 상수 <math>c</math>의 값은
:<math>c = - \lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}</math>
이 된다. 여기서 <math>\lambda</math>와 <math>\omega_0</math>의 값에 따라 위 근이 두 개의 실근, 중근, 두 개의 복소수근이 되는가가 결정 된다결정된다. 여기서 두 개의 복소수근을 갖는 경우는 '''저감쇠진동''', 두 개의 실근을 갖는 경우를 '''과감쇠진동''', 마지막으로 중근을 갖는 경우를 '''임계감쇠진동'''이라 한다.
==== 저감쇠진동 ====
[[파일:Underdamped oscillation xt.png|right|thumb|350px|<math>\lambda = 2/\textrm{s}</math> , <math>\omega_1 = 20/\textrm{s}</math>인 경우의 저감쇠진동의 시간에 대한 진폭의 그래프(빨강). 파란색 선을 따라 점점 지수적으로 감소하는 진동을 볼 수 있다. 초기조건은 <math>x(0) = 1\textrm{m}</math> , <math>\dot{x}(0) = 0</math>.]]
[[파일:Over n crit damped osc xt.png|right|thumb|350px|<math>\lambda = 13/\textrm{s}</math> , <math>\omega_2 = 10/\textrm{s}</math>인 경우의 과감쇠진동(파랑)과 <math>\lambda = 13/\textrm{s}</math>인 경우의 임계감쇠진동(초록)의 시간에 대한 진폭의 그래프. 지수적으로 급격히 감소하는 진동을 볼 수 있다. 초기조건은 <math>x(0) = 1\textrm{m}</math> , <math>\dot{x}(0) = 0</math>.]]
 
<math> \lambda < \omega_0</math>인 경우를 '''저감쇠진동''' 또는 '''주기적 감쇠진동'''({{lang|en|underdamped oscillation}})이라 한다. 보통 공기속에서의공기 속에서의 진동과 같이 마찰이 비교적 적은적었을 경우에 이러한 진동이 나타난다. 이 경우, 근이 다음과 같이 복소수이기 때문에
:<math>x(t) = c_1 e^{- \lambda t + i \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}t } + c_2 e^{- \lambda t - i \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}t }</math>
물리학적 의미를 부여하기 위하여 식을 조절하여 다음과 같이 근을 쓴다.<ref name="zill154">{{서적 인용 |저자= Dennis. G. Zill|공저자= Michael R. Cullen|제목= Advanced Engineering Mathematics|꺾쇠표= |발행년도=2006|출판사= Jones & Bartlett Pub|판=Third Edition|쪽=p. 154}}</ref>
 
==== 과감쇠진동 ====
<math> \lambda > \omega_0</math>인 경우를 '''과감쇠진동''' 또는 '''지수적 감쇠진동'''({{lang|en|overdamped oscillation}})이라 한다. 물 속과물속과 같은 강한 저항이 존재하는 곳에서 진동이 일어날 때 많이 일어나는 진동이다. 이 경우, 근은 다음과 같이 실근으로 나온다.<ref name="zill154" />
:<math>x(t) = c_1 e^{- \lambda t + \sqrt{ \lambda^2 - \omega_0^2 }t } + c_2 e^{- \lambda t - \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}t }</math>
좀 더 보기 쉽게 위 근을 아래외아래와 같이 쓰기도 한다.
:<math>x(t) = e^{- \lambda t} \left[ A_1 e^{\omega_2 t} + A_2 e^{-\omega_2 t} \right]</math>
여기서 <math>A_1</math>과 <math>A_2</math>는 임의의 상수이고,
:<math> \omega_2 = \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2 } </math>
이다. 여기서 <math>\omega_2</math>는 <math>\omega</math>로 쓰긴 했지만, 이 운동은 주기 운동이 아니기 때문에아니므로, 각진동수를 의미하는 값이 아님에 유의하자.
 
==== 임계감쇠진동 ====
<math> \lambda = \omega_0</math>인 경우를 '''임계감쇠진동'''({{lang|en|critically damped oscillation}})이라 한다. 이 진동은 저감쇠진동과 과감쇠진동의 중간에 위치하는있는 진동이다. 이 경우, 위에서 구한 근은 하나 뿐이기하나뿐이기 때문에 이 운동을 풀기 위해선 하나의 해가 더 필요하다. 그 해는 <math>t e^{-\lambda t}</math> 꼴의 해임이 알려져 있다알려졌다.<ref name="zill154" /> 따라서 이 운동의 해는 다음과 같다.<ref name="zill154" />
:<math>x(t) = (c_1 + c_2 t ) e^{-\lambda t} \;</math>
여기서 <math>c_1</math>과 <math>c_2</math>는 임의의 상수이다.
 
주어진 조건 하에서조건에서, 임계감쇠진동은 어떤 진동이 가장 빨리 멈추는 진동의 형태이다.<ref>{{서적 인용 |저자= Stephen T. Thornton|공저자= Jerry B. Marion|제목= Classical Dynamics of Particles and Systems|꺾쇠표= |발행년도=2003|출판사= Brooks/Cole|판=Fifth Edition|쪽=p. 114|장=3.5 Damped Oscillations, Critically Damped Motion}}</ref>
 
=== 상도표 ===
:<math>x(t) = x_h(t) + x_p(t)</math>
 
==== 외력이 주기적 힘인힘일 경우 ====
외력이 다음과 같이 주기적으로 주어지는 경우를 생각해보자.
:<math>F(t) = F_0 \cos \omega_1 t</math>
이 경우 특수해는 다음과 같은 형태를 갖는다보인다.
:<math>x_p(t) = B \cos (\omega_1 t + \delta) </math>
이를 운동 방정식에 대입하고, 삼각함수를 전개하면,
이 경우의 특이해는 여러 응용 분야와 문제들에서 중요하게 다루어진다.<ref>{{서적 인용 |저자= Stephen T. Thornton|공저자= Jerry B. Marion|제목= Classical Dynamics of Particles and Systems|꺾쇠표= |발행년도=2003|출판사= Brooks/Cole|판=Fifth Edition|쪽=p. 119|장=3.6 Sinusoidal Driving Forces}}</ref> 외력이 주기적으로 주어지는 강제조화진동의 경우, 운동의 동차해는 감쇠진동의 해이기 때문에 점차 사라지는 '''과도적인 해'''({{lang|en|transient solution}})이기 때문에 오랜 시간이 지나면 특수해만이 남기 때문이다. 때문에 이 해를 '''정상상태의 해'''({{lang|en|steady-state solution}})라 부르기도 한다.
 
==== 외력이 일반적인 힘인힘일 경우 ====
초기에 정지해 있는 진동의 경우, 다음과 같은 [[그린 함수]]를 사용해 문제를 해결할 수 있다.<ref>{{서적 인용 |저자= Stephen T. Thornton|공저자= Jerry B. Marion|제목= Classical Dynamics of Particles and Systems|꺾쇠표= |발행년도=2003|출판사= Brooks/Cole|판=Fifth Edition|쪽=p. 136|장=3.9 The Response of Linear Oscillators to Impulsive Forcing functions (Optional), Response to an Impluse Fuction}}</ref><ref>문희태(2006), 《개정판 고전역학》, 서울 : 서울대학교출판부, 191쪽</ref>
:<math>
\end{cases}
</math>
이 때이때, 운동의 해는 다음과 같다.
:<math> x(t) = \int_{-\infty}^ t F(t') G(t,t') dt' </math>
 
== 동등한 계들 ==
여러 공학분야에서 조화진동자의 운동방정식과 동등한 미분방정식이 등장한다. 이러한 경우이러면, 그 [[계_(물리학)|계]]의 행동은 조화진동자와 같은 행동을 보이게 된다. 아래는 기계, 전자 분야에서 등장하는 네가지네 가지 예와 그에 해당하는 각각의 물리량을 비교하고 있다. 여기서 같은 줄에 있는 물리량들은 수학적으로 조화진동자 모델 하에서 동등한 물리량임을 의미한다.
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