코시 적분 정리: 두 판 사이의 차이

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복소함수의 선적분은 양 끝점에만 좌우되는 것이 아니라, 경로 자체의 선택에도 의존한다. 만약 복소함수가 영역 D에서 해석적이고 D가 단순 연결 되었다면, 주어진 점들 사이의 경로선택에 의존하지 않는다. 이로써 복소선적분의 경로의존성으로부터 벗어날 수 있다.
 
==정의설명==
<math>f\left( z \right)</math>가 단순연결 정의역 D에서 해석적이면, D에 있는 모든 단순 닫힌 곡선 <math>C</math>에 대하여
:<math>\oint\limits_{C}{f\left( z \right)}dz=0</math>
 
이다.
 
==코시의 적분공식==
=== 설명 ===
<math>f\left( z \right)</math>가 단순연결 영역 D에서 해석적이면, D에 있는 임의의 점 <math>z_{0}</math>와 <math>z_{0}</math>를 둘러싸고 있는 D안의 임의의 단순 닫힌 곡선 <math>C</math>에 대하여
 
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left( z \right)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if\left( z_{0} \right)</math>
단순연결영역 <math>D</math>의 에서 해석적인 함수 <math>f(z)</math>와 점 <math>z_{0}</math> 와 이를 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 <math>C</math> 에 대해
가 성립된다. 여기서 적분의 방향은 반시계 방향이다. 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if\left(z_{0} \right)=</math> 이라는 정리이다. 이는 <math>\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}{\frac{f\left( z \right)}{z-z_{0}}}dz=f\left(z_{0} \right)</math> 이라고 표현하기도 한다.
 
=== 증명 ===
<math>f(z)</math> 는 <math>z=z_{0}</math> 에서 [[연속]]이므로 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 <math>|f(z)-f(z_{0})|<\epsilon</math> 이면 <math>|z-z_{0}|<\delta</math> 을 만족하는 <math>\delta>0</math> 가 존재한다.
이제 <math>0<r<\delta</math> 인 r에 대해 반시계방향 원 <math>C_{0}:|z-z_{0}|=r</math> 이 <math>C</math> 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해
<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz</math> 이다. 양변을 <math>f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 로 빼면
 
<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz</math> 이 되고 그런데 <math>\oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=2\pi i </math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz</math> 이다. 또 그런데
 
<math>|\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz|<\frac{\epsilon}{r}2\pi r=2\pi \epsilon </math> 이다. <math>\epsilon>0</math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=0</math> 이므로 <math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=2\pi i f(z_{0})</math> 이다.
 
=== 일반화 ===
 
코시 적분공식의 일반화는 다음과 같다.
 
:<math>\oint\limits_{C}{\frac{f\left( z \right)}{(z-z_{0})^n}}dz=\frac{2\pi if\lefti}{n!}f^{(n)} (z_{0})</math> \right(여기에서 <math>f^{(n)}</math> 은 f의 n계도함수)
 
다음을 이용하면 임의의 함수가 <math>z_0</math> 에서 해석적이면 그 n계도함수도 <math>z_0</math> 에서 해석적임을 증명할 수 있다. 이는 어떤 복소함수가 미분 가능하면 무한번 미분가능함을 알려주고 이는 복소함수의 중요한 성질이다.
 
=== 예 ===
 
예를 들자면 <math>f(z)=e^z</math> 를 미분하면 <math>\frac{df(z)}{dz}=e^z</math> 가 되고 모든 점에서 해적적이므로 z=0 을 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 C에 대해서 <math>\oint\limits_{C}{\frac{e^z}{z}}dz=2\pi i e^0=2\pi i</math>이다.
{{토막글|수학}}
 

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