밀도 행렬: 두 판 사이의 차이
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:<math>| \psi \rangle = \sum_i c_i | \psi_i \rangle</math>
의 경우 ''A'' 의 기대값은
:<math>\langle A \rangle = \sum_i |c_i|^2
가 된다. 이 경우를, 우리는 섞인 상태의 위상 차이까지 알기 때문에 상태들의 [[결맞음|결맞는]] 혼합 상태라 한다. 하지만 실제 실험에서는 각 상태들의 위상 차이까지를 알 수 있는 경우는 많지 않다. 예를 들어, 갓 달궈진 오븐에서 발사되는 은 원자의 상태는 완전 무작위적으로 나오기 때문에 위와 같이 위상 차이까지 알아내는 것은 불가능 하지만, 각 상태들이 얼마 만큼 나오는 지는 알 수 있다. 때문에 상태의 선형 결합으로 계의 성질을 기술하는게 아니라 통계적 방법으로 성질을 기술하는 것이 필요하다. 즉, 각 상태가 나오는 확률을 ''w''<sub>''i''</sub> 라 하면 ''A''의 기대값은
:<math>\langle A \rangle = \sum_i w_i \langle \psi_i | A | \psi_i \rangle</math>
이 된다. 이러한 방법론적으로 양자역학을 접근할 때, 중요하게 사용되는 것이 '''밀도
:<math>\rho = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |</math>
이며 이 때, ''A''의 기대값은 다음과 같이 나타난다.
:<math>\langle A \rangle = \mathrm{tr} (\rho A)</math>
== 밀도 연산자 ==
''A''의 기대값을 다시 살펴보자. 기대값을 상태 벡터가 아니라 행렬 연산으로 나타내기 위해 상태 공간의 완전한 기저 {|''b''〉} 를 도입해 생각해보자.
:<math>\langle A \rangle = \sum_{i, b, b'} w_i \langle \psi_i | b \rangle \langle b | A | b' \rangle \langle b' | \psi_i \rangle</math>
여기서, 맨 뒤 항을 맨 앞으로 가져오게 되면
:<math>\langle A \rangle = \sum_{i, b, b'} w_i \langle b' | \psi_i \rangle \langle \psi_i | b \rangle \langle b | A | b' \rangle </math>
을 얻게 된다. 위 식의 앞부분의 두 항은 ''A'' 에 무관하고, 오직 각 상태들의 분율과 상태 벡터에만 관계함을 알 수 있다. 우리가 다루는 계의 모든 정보를 담고 있는 이 부분을 새로운 연산자
:<math>\rho = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |</math>
를 정의하면 앞으로 유용하게 사용할 수 있다. 이를 '''밀도 연산자'''라 부르기로 하자. 밀도 연산자는 계의 통계적 앙상블에 대한 정보를 담고 있기 때문에 물리적으로 매우 중요하다. 이를 사용하여 ''A'' 의 기대값을 쓰면
:<math>\langle A \rangle = \sum_{b'} \langle b' | \rho A | b' \rangle </math>
즉, 기저 {|''b''〉} 에서 ''A'' 의 기대값은 행렬 〈''b''|''ρA''|''b''〉 의 대각합임을 알 수 있다. 하지만 연산자의 어느 기저에서의 기대값은 기저에 무관하므로 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.
:<math>\langle A \rangle = \mathrm{tr} (\rho A)</math>
밀도 연산자는 다음과 같은 성질을 가진다.
=== 성질 ===
* 밀도 연산자는 [[에르미트 연산자]] 이다.
* 밀도 행렬은 [[양의 준정부호]]를 가지고 있다.
* 정규화 조건 : tr(''ρ'') = 1
== 순수한 앙상블과 섞인 앙상블 ==
순수한 앙상블의 경우, 상태가 섞여있지 않기 때문에 밀도 연산자는 다음과 같이 나타내진다.
:<math>\rho = | \psi \rangle \langle \psi |</math>
이 경우 밀도 연산자는 다음과 같은 성질을 더 가지게 된다.
=== 순수한 앙상블의 성질 ===
* [[멱등원]] : ''ρ''<sup>2</sup> = ''ρ''
* tr(''ρ''<sup>2</sup>) = 1
여기서 마지막 성질을 이용해 밀도 연산자의 제곱의 대각합이 1 인지 아닌지 확인하여 밀도 연산자가 나타내는 앙상블이 순수한 앙상블인지 섞인 앙상블인지 구별할 수 있다.
== 밀도 연산자의 시간 변화 ==
밀도 연산자의 시간 변화는 각 상태들의 시간 변화에 따라 변하게 된다. [[슈뢰딩거 묘사]]를 사용하면 시간 ''t''<sub>0</sub> 에서 |''ψ''〉 에 있던 상태가 시간 ''t'' 에서는 [[슈뢰딩거 방정식]]에 의해 |''ψ'',''t''<sub>0</sub>;''t''〉로 변하게 된다. 때문에 t 에서의 밀도 연산자는
:<math>\rho(t) = \sum_i w_i | \psi_i, t_0; t \rangle \langle \psi_i, t_0; t |</math>
로 나타낼 수 있다. 이 밀도 연산자는 다음과 같은 방정식을 만족함을 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 알아낼 수 있다.
:<math> i\hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = - [\rho, H]</math>
여기서 [·,·] 는 [[교환자]]이다. 위 식은 마치 [[하이젠베르크 운동방정식]]과 유사해 보이지만, 부호가 다름을 알 수 있다. 하지만 밀도 연산자는 동역학적 관측가능량이 아니기 때문에 하이젠베르크 운동방정식을 만족할 필요는 없음에 유의하자. 위 방정식은 고전역학적으로는 [[리우빌 정리]]와 유사함을 알 수 있다.
== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |저자= J.J. Sakurai|제목=Modern Quantum Mechanics|꺾쇠표= |발행년도=1994|출판사= Addison-Wesley|판=Revised Edition}}
[[분류:양자역학]]
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