맥스웰-볼츠만 분포: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
잔글 →특성 |
|||
19번째 줄:
== 맥스웰-볼츠만 분포의 물리적 응용 ==
맥스웰-볼츠만 분포는 기체의 압력, 확산 등, 기본적인 그 성질을 설명하는 기체 운동 이론의 기본을 형성한다. 이 분포는 기체에서 분자 속도의 분포를 고려할 수 있을 뿐만 아니라 [[속도]], [[운동량]], 분자 운동량의 크기 등 서로 다른 확률 분포 함수를 가지지만 모두 연관되어 있는 물리량을 광범위하게 나타낸다.
맥스웰-볼츠만 분포는 [[통계
그러나, 이러한 조건들(탄성 충돌 등)이 적용되지 않는 경우들도 있다.예를 들면, 재조합 및 여기가 중요한 이온층과 공간 플라즈마의 물리학이다. 만약 맥스웰 분포와 그와 관련된 가정을 여기에 적용했다면 그것은 잘못된 것이며, 물리적 의미를 파악하지 못한 것이다. 맥스웰-볼츠만 분포의 잘못된 결과를 가져다 주는 또다른 예는 바로 기체의 양자적 열 파장이 입자들 간의 거리에 비교하여 충분히 작지 않을 때의 경우이다. 따라서 이 이론은 중요한 양자 효과를 설명하는 데 실패한다. 또한, 이것이 비상대론적 가정에 기초하고 있기에, 맥스웰-볼츠만 분포는
맥스웰에 의한 최초 계산은 3가지 방향이 같은 방식으로 행동할 것이라고 가정했다. 그러나 이후에, 볼츠만에 의한 계산은 운동 이론을 사용하는 가정으로 낮췄다.맥스웰-볼츠만 분포는 에너지에 대한 볼츠만 분포로부터 대부분 유도될 수 있다.
:<math>
34번째 줄:
여기서 ''N''<sub>''i''</sub>은 에너지''E''<sub>''i''</sub>를 가지는 상태''i''와 겹침 ''g<sub>i</sub>''에서, 평형온도 ''T''를 가지는 분자들의 수이며, ''N''는 계 안에서 가지는 총 분자들의 수가 된다.그리고 ''k'' 는 볼츠만 상수가 된다.(가끔 위의 식은 겹침 인자 ''g''<sub>''i''</sub>를 빼고 쓰는 경우가 있음에 유의하라). 이 경우에서, 첨자''i''는 각개 상태를 나타낼 것이다., 오히려 ''g''<sub>''i''</sub>의 집단은 동일한 에너지 ''E''<sub>''i''</sub>.를 가지는 것으로 나타낼 수 있다.) 왜냐하면 속력과 속도는 에너지로 연관되어 있고, 식 1은 기체 상태의 분자 속도와 온도 간의 관계를 유도하기 위해 사용될 수 있기 때문이다.이 식에 있는 분모는 모듬 분배 함수로 알려져 있다.
=== 운동량 벡터의 분포 ===
지금까지 맥스웰에 의해 다양하고 광범위하게 유도된 계산들이 후에 블츠만에 의해 적은 가정으로 설명되었다는 것을 알았다. 이것은 1877년 후에 볼츠만 가정이 더 설득력을 얻었다.
바닥 상태에서 상호 작용이 없는 원자들로만 구성된 "[[이상 기체]]"의 경우를 살펴 보자. 모든 에너지는 운동 에너지의 형태로 되어 있는데, 일반적인 입자들에 대하여 운동 에너지와 운동량은 아래와 같은 관계를 가진다.
:<math>
56번째 줄:
''Z''는 여기서 분배 함수를 나타내며, 식 1에서 분모에 해당된다. ''m'' 은 기체의 분자 질량이며, ''T'' 는 열역학 온도, ''k'' 는 [[볼츠만
:<math>
87번째 줄:
이 분포는 분산 <math>mkT</math>에 의한 3개의 독립적인 정규 분포 값들 <math>p_x</math>,<math>p_y</math>, <math>p_z</math>의 곱으로 보일 수 있다. 게다가 운동량의 크기가 <math>a=\sqrt{mkT}</math>만큼 맥스웰-볼츠만 분포처럼 분포될 것이라고 보일 수 있다.
=== 에너지의 분포 ===
<math>p^2 = 2mE</math>를 사용하여 에너지 분포에 대한 식을 유도할 수 있다:
95번째 줄:
</math>
에너지가 정규 분포된 세 운동량 값들의 제곱에 대한 합에 비례할 때, 이 분포를 자유도가 3급인 chi-제곱 분포라 한다:
:<math>f_E(E)\,dE=\chi^2(x;3)\,dx </math>
148번째 줄:
이 분포는 분산<math>\frac{kT}{m}</math>의 정규 분포의 형태를 가지고 있다.정지 상태의 기체에 대해 예측했던 것처럼,어떤 방향에 대한 평균 속력은 0이 된다.
=== 속도 분포 ===
[[그림:MaxwellBoltzmann.gif|right|thumb|360px|온도 298.15K (25 C)에서 불활성 기체들의 속도의 확률 밀도 함수는 정규 분포로 접근하지만 오른쪽으로 편중된 모습을 보이다. y축은 s/m이므로 곡선 상의 면적은 (차지하는 범위만큼의 속도의 확률을 표현한다.) 단위가 없을 것이다.]]
| |||