사원수: 두 판 사이의 차이

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→‎정의: 조금 정리, 비가환군 (X) -> 비가환환(O), 덧셈에 대해선 가환임.
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== 정의 ==
사원수의 집합 '''H''' 는 기본적으로 실수로 구성된 4차원 [[벡터공간]] '''R'''<sup>4</sup> 와 같은 구조를 가지고 있다. 덧셈과 스칼라곱은 '''R'''<sup>4</sup> 와 같은 구조로 되어 있으며 여기에 사원수 곱셈을 추가하여 만든 집합이 사원수의 집합이다. 사원수는 보통 항등원 1 과 세개의 허수단위 ''i'', ''j'', ''k'' 로 [[생성]]하며 이들 사이의 곱은 다음으로 정의한다.
사원수 전체를 이루는 집합 <math>\mathbf{H}</math> 에는 실수전체를 이루는 [[체 (수학)|체]] <math>\mathbf{R}</math> 위의 <math>{1, i, j, k}</math> 를 기저로 하는 4차원 [[벡터공간]]으로서의 구조를 더하여 다음과 같이 곱을 정의하고 있다.:
#:<math> i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \;</math>
# 곱은 [[결합법칙]]을 만족하며, 합에 대한 [[분배법칙]]도 만족한다.
위와 벡터공간의 공리를 사용하면 임의의 사원수간의 곱을 잘 정의할 수 있다. 기저간의 곱을 간단히 살펴보면
# <math>i, j, k</math> 는 각자의 제곱이 -1과 같다.
:<math>\begin{alignat}{2}
#:<math>i^2 = j^2 = k^2 = -1</math>
#<math>ij = -ji& = k, jk& =\qquad -kjji = i, ki& = -ik = jk, ijk = jki = kij = -1</math>\\
jk & = i, & kj & = -i, \\
 
ki & = j, & ik & = -j,
3번의 조건에서부터 [[교환법칙]]이 성립하지 않는 것을 알 수 있다. 그러나 0이외의 원은 곱에 대한 역원을 갖는다. 즉 4원수 전체를 이루는 집합 <math>\mathbf{H}</math> 은 [[비가환군]]이다. <math>\mathbf{H}</math> 를 '''사원수환'''이라고 부른다.
\end{alignat}</math>
이 되고, 이를 도표로 나타내면 다음과 같다.
<center>
{|class="wikitable" style="text-align:center"
|+사원수의 곱
|-
!width=15|×
!width=15|1
!width=15|''i''
!width=15|''j''
!width=15|''k''
|-
!1
|1
|''i''
|''j''
|''k''
|-
!''i''
|''i''
| −1
|''k''
| −''j''
|-
!''j''
|''j''
| −''k''
| −1
|''i''
|-
!''k''
|''k''
|''j''
| −''i''
| −1
|}
</center>
이로부터 사원수의 가장 큰 특징인 [[교환법칙]]이 성립하지 않는 것을 알 수 있다. 즉, 사원수 집합 ''H'' 는 [[비가환환]]이다.
 
<!---