사이클로이드: 두 판 사이의 차이

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9번째 줄:
== 길이 ==
반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디의 길이는
:<math> l = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt {\left ( \frac {dx} {dt} \right) ^2 + \left ( \frac {dy} {dt} \right) ^2 }dt = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt { \left( \frac {d(t-r \sin t)} {dt} \right) ^2 + \left( \frac {d(r-r \cos t)} {dt} \right) ^2 } dt = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt {(1-r \cos t) ^2 + (r \sin t) ^2 } dt =\int _{0}8r ^{2\pi} \sqrt {1+r^2 -2r \cos t}dt</math>
 
특히 r=1 일 때,
:<math>l=\int _{0} ^{2\pi} \sqrt {2-2 \cos t}dt=\int _{0} ^{2\pi} \sqrt {2-2 \left(1-2 \sin^2 \frac {t} {2} \right)}dt=\int _{0} ^{2\pi} 2 \sin \frac {t} {2} dt=8</math>
 
== 넓이 ==
반지름이 r인 원을 x축 위로 굴렸을 때의 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 한 마디와 x축 사이의 넓이는
:<math> S=3 \pi r^2 </math>
{{토막글|수학}}