"거리화 가능 공간"의 두 판 사이의 차이

잔글
로봇이 바꿈: de:Metrisierbarer Raum; 예쁘게 바꿈
잔글 (로봇이 바꿈: pl:Przestrzeń metryzowalna)
잔글 (로봇이 바꿈: de:Metrisierbarer Raum; 예쁘게 바꿈)
'''거리공간화 정리'''({{lang|en|Metrization Theorem}})란 [[위상수학]]에서 주로 다루는 주제인 '''거리공간화'''({{lang|en|Metrization}})에 관련된 정리를 의미한다. 이 문서에서는 발견한 수학자의 이름이 붙을 정도로 유명한 정리들만을 나열할 것이다. 관련 분야에 관해 초기의 업적으로는 [[러시아]] 수학자인 [[파벨 사무일로비치 우리손]]({{llang|ru|Па́вел Самуи́лович Урысо́н}})의 것이 유명하다.
 
== 거리공간화 ==
어떤 [[위상공간 (수학)|위상공간]] <math>(X, T)</math>가 주어졌을 때, 이 공간이 '''거리공간화 가능하다'''는 것은 다음과 같은 의미이다.
* 집합 <math>X</math>상의 거리함수 <math>d(x_1,x_2)</math>를, 원래의 위상 <math>T</math>와 이 거리함수가 유도하는 거리위상 <math>T_d</math>가 동일하게 되도록 잡을 수 있다.
이 때 원래의 위상공간은 거리위상에 의해 유도되는 거리공간과 위상동형이므로, 그 자체를 하나의 거리공간으로 볼 수 있다. 이러한 거리함수 <math>d</math>를 찾아가는 과정을 '''거리공간화'''라고 한다.
 
그러나 이 분야 연구의 중점은, 거리공간화 자체보다는 주로 어떤 공간이 거리공간화가 가능한지에 놓여 있다. 이처럼, 어떤 성질을 갖는 공간이 거리공간화 가능한지의 조건을 구하는 문제를 '''거리공간화 문제'''라고 한다. 이 문제는 일반 위상수학에서 가장 중요한 문제 중 하나이다.
 
== 국소적 거리화 ==
유사한 개념으로, 거리공간화 가능의 조건을 약화시킨 '''국소적 거리화 가능'''이라는 것이 있다. 이는 위상공간 <math>(X, T)</math>가 주어졌을 때, <math>X</math> 상의 임의의 점 <math>x</math>에 대하여 그 부분공간이 되면서 거리공간화 가능인 <math>x</math>의 열린 근방 <math>U</math>가 존재한다는 성질을 의미한다. 자명히 거리공간화 가능이면 국소적 거리화 가능이지만(전체 집합은 열린 집합이며 임의점의 근방이 되므로), 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
 
=== 스톤의 정리 ===
거리공간은 정칙공간이고, 정칙공간이면 파라컴팩트공간이므로 다음의 정리가 성립한다. 이 정리에는 [[미국]]의 수학자 [[마셜 하비 스톤]](Marshall Harvey Stone)의 이름이 붙어 있다.
* 정리: 모든 거리공간은 파라컴팩트공간이다. 즉, 거리공간화 가능한 공간이면 파라컴팩트공간이다.
이 정리는 다음의 스미로프 거리공간화 정리의 일부가 된다.
 
=== 스미로프 거리공간화 정리 ===
거리공간화 가능성 조건과 국소적 거리화 가능을 동치로 만들어주는 조건은 바로 공간의 [[파라컴팩트]]성이다. 이는 다음과 같은 스미로프 거리공간화 정리로 주어진다.
* 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리공간화 가능이다'라는 성질과 '파라컴팩트이고 국소적 거리화 가능이다'이라는 성질은 동치이다.
 
== 우리손의 거리공간화 정리 ==
다음 정리는 사실 우리손이 아니라 [[안드레이 니콜라예비치 티호노프]]({{llang|ru|Андрей Николаевич Тихонов}})가 증명했지만, 관련 주제에 대한 업적을 기려 우리손의 이름이 붙어 있다. 실제로 우리손이 증명한 것은 '어떤 위상공간이 제2가산공간이고 동시에 [[정규공간]]일 때 거리공간화 가능'하다는 정리였고, 티호노프는 이것을 좀 더 일반화한 것이다.
* 정리: 어떤 위상공간이 [[제2가산공간]]이며 동시에 [[정칙공간]]일 경우, 거리공간화 가능하다.
 
=== 정리의 역 ===
우리손의 거리공간화 정리의 역은 다음과 같이 주어진다. 그러면 필요충분조건이 되는데, 이는 이후 나가타-스미르노프 거리공간화 정리로 일반화되었다.
* 정리: 어떤 위상공간이 [[가분공간]]이고 거리공간화 가능하면, 제2가산공간이며 정칙공간이다.
이는 [[힐베르트 공간]]을 도입하여 쉽게 보일 수 있다. 먼저 제2가산인 정칙공간은 힐베르트 공간의 부분공간과 위상적으로 동형이다. 또 힐베르트 공간은 거리공간이며 제2가산공간이다. 따라서 힐베르트 공간의 어떤 부분공간도 제2가산이므로, 가분이다. 마지막으로 거리공간은 정규공간이며, 정규공간은 정칙공간이고, 거리공간 위에서 가분과 제2가산은 동치이므로 결론을 얻는다.
 
=== 유사 형태 ===
주어진 공간이 컴팩트인 하우스도르프 공간이라는 조건을 주면, 거리공간화 가능 조건은 다음과 같이 간략화된다. 그러나 이 경우 배경 조건이 너무 강력하다는 문제점이 있다.
* 정리: [[컴팩트]]인 [[하우스도르프 공간]]이 거리공간화 가능일 필요충분조건은 제2가산인 것이다.
 
== 나가타-스미르노프 거리공간화 정리 ==
수학자 [[스미르노프]]와 [[일본]]의 수학자 [[나가타 마사요시]](永田雅宜)는 우리손의 거리공간화 정리의 역 형식에서 가분 조건을 빼고 필요충분조건의 일반화를 시도하였다. 그 결과는 다음의 정리로 주어진다.
* 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리공간화 가능이다'라는 성질과 '정칙이고 σ-국소 유한 기저를 갖는다'라는 성질은 동치이다.
이 정리의 증명은 몇 단계로 이루어질 수 있는데, 그 중 중요한 수순으로 [[무어 공간]]의 개념을 이용하는 경우가 있다.
 
=== 빙 거리공간화 정리 ===
나가타-스미르노프 거리공간화 정리의 발표와 유사한 시기에 미국의 수학자 [[빙]](RH Bing)이 유사한 형식의 거리공간화 정리를 발표하였다. 이 두 정리를 통칭하여 빙-나가타-스미르노프 거리공간화 정리라고도 한다. 증명 도중에 무어 공간을 사용하는 경우가 있다는 점에서 위의 정리와 유사하다.
* 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리공간화 가능이다'라는 성질과, '정칙이고 σ-국소 이산 기저를 갖는다'라는 성질은 동치이다.
 
== 같이 보기 ==
* [[고른공간화]]
* [[컴팩트화]]
* [[파라컴팩트 공간]]
* [[분리 공리]]
 
== 참고 문헌 ==
* 박대희, 안승호, 『위상수학(2/e)』, 경문사, 2009
* 김승욱, 『위상수학-집합론을 중심으로』, 경문사, 2003
* James R. Munkres, ''Topology(2/e)'', Prentice hall, 2000
 
==참고 문헌==
*박대희, 안승호, 『위상수학(2/e)』, 경문사, 2009
*김승욱, 『위상수학-집합론을 중심으로』, 경문사, 2003
*James R. Munkres, ''Topology(2/e)'', Prentice hall, 2000
[[분류:수학 정리]]
[[분류:위상수학]]
 
[[de:MetrisierbarMetrisierbarer Raum]]
[[en:Metrization theorem]]
[[fi:Metristyvä avaruus]]