마르코프 부등식: 두 판 사이의 차이

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<!-- 측도이론을 아시는 분께서 번역해 주셨으면 좋겠습니다. -->
 
[[확률론]]에서 '''마르코프 부등식'''은 [[확률 변수]]의 [[함수 (수학)|함수]]가 어떤 양수 [[수학 상수|상수]] 이상일 [[확률]]에 대한 [[상계]]를 제시한다. 단, 이 함수는 음이 아니어야 한다. 마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 [[안드레이 마르코프]]의 이름에서 따온 것이다.
 
:<math>\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.</math>
 
== Proofs증명 ==
<!--
측도 공간이 확률 공간인 경우를 따로 증명한다. 일반적인 증명에서 이 경우만 떼어낸 것은 일반 독자가 읽기 쉽도록 하기 위해서이다.
== Proofs ==
 
=== 특수한 경우: 확률론 ===
We separate the case in which the measure space is a probability space from the more general case because the probability case is more accessible for the general reader.
어떤 사건 ''E''에 대해서, ''I''<sub>''E''</sub>를 ''E''의 정의 확률 변수라 하자. 즉, ''E''가 일어나면 ''I''<sub>''E''</sub> =&nbsp;1이고 일어나지 않으면 ''I''<sub>''E''</sub> =&nbsp;0이다. 따라서
 
사건 |''X''|&nbsp;&ge;&nbsp;''a''가 일어나면
=== Special case: probability theory ===
''I''<sub>(|''X''|&nbsp;&ge;&nbsp;''a'')</sub>&nbsp;=&nbsp;1이고,
 
사건 if |''X''|&nbsp;<&nbsp;''a''가 일어나면
For any event ''E'', let ''I''<sub>''E''</sub> be the indicator random variable of ''E'', that is, ''I''<sub>''E''</sub> =&nbsp;1 if ''E'' occurs and =&nbsp;0 otherwise. Thus ''I''<sub>(|''X''|&nbsp;&ge;&nbsp;''a'')</sub>&nbsp;=&nbsp;1 if the event |''X''|&nbsp;&ge;&nbsp;''a'' occurs, and ''I''<sub>(|''X''|&nbsp;&ge;&nbsp;''a'')</sub>&nbsp;=&nbsp;0 if |''X''|&nbsp;<&nbsp;''a''. Then, given ''a''>0,
''I''<sub>(|''X''|&nbsp;&ge;&nbsp;''a'')</sub>&nbsp;=&nbsp;0이다. 그러면 ''a'' > 0인 ''a''가 주어질 때,
 
:<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|.\,</math>
 
이다. 따라서
Therefore
 
:<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|).\,</math>
 
이다. 이제 부등식 왼쪽이 아래 식과 같으므로
Now observe that the left side of this inequality is the same as
 
:<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a).\,</math>
 
다음 식을 얻는다.
Thus we have
 
:<math>a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|)\,</math>
 
and since그리고 ''a'' > 00이므로, we can divide both sides by양변을 ''a''로 나눌 수 있다.
 
===General case:일반적인 경우: measure측도 theory이론 ===
<!--
For any measurable set ''A'', let 1<sub>''A''</sub> be its [[indicator function]], that is, 1<sub>''A''</sub>(''x'') = 1 if ''x'' &isin; ''A'', and 0 otherwise. If ''A''<sub>''t''</sub> is defined as ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' &isin; ''X''| |''f''(''x'')| &ge; ''t''}, then
 
 
:<math>\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X|f|\,d\mu.</math>
-->
 
[[Q.E.D.]]
-->
 
== 응용 ==