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<!-- 측도이론을 아시는 분께서 번역해 주셨으면 좋겠습니다. -->
[[확률론]]에서 '''마르코프 부등식'''은 [[확률 변수]]의 [[함수 (수학)|함수]]가 어떤 양수 [[수학 상수|상수]] 이상일 [[확률]]에 대한 [[상계]]를 제시한다. 단, 이 함수는 음이 아니어야 한다. 마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 [[안드레이 마르코프]]의 이름에서 따온 것이다.
:<math>\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.</math>
<!--▼
측도 공간이 확률 공간인 경우를 따로 증명한다. 일반적인 증명에서 이 경우만 떼어낸 것은 일반 독자가 읽기 쉽도록 하기 위해서이다.
▲== Proofs ==
=== 특수한 경우: 확률론 ===
어떤 사건 ''E''에 대해서, ''I''<sub>''E''</sub>를 ''E''의 정의 확률 변수라 하자. 즉, ''E''가 일어나면 ''I''<sub>''E''</sub> = 1이고 일어나지 않으면 ''I''<sub>''E''</sub> = 0이다. 따라서
사건 |''X''| ≥ ''a''가 일어나면
''I''<sub>(|''X''| ≥ ''a'')</sub> = 1이고,
사건 if |''X''| < ''a''가 일어나면
''I''<sub>(|''X''| ≥ ''a'')</sub> = 0이다. 그러면 ''a'' > 0인 ''a''가 주어질 때,
:<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|.\,</math>
이다. 따라서
:<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|).\,</math>
이다. 이제 부등식 왼쪽이 아래 식과 같으므로
:<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a).\,</math>
다음 식을 얻는다.
:<math>a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|)\,</math>
===
▲<!--
For any measurable set ''A'', let 1<sub>''A''</sub> be its [[indicator function]], that is, 1<sub>''A''</sub>(''x'') = 1 if ''x'' ∈ ''A'', and 0 otherwise. If ''A''<sub>''t''</sub> is defined as ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' ∈ ''X''| |''f''(''x'')| ≥ ''t''}, then
:<math>\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X|f|\,d\mu.</math>
-->▼
[[Q.E.D.]]
▲-->
== 응용 ==
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