마르코프 부등식: 두 판 사이의 차이

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[[확률론]]에서 '''마르코프 부등식'''은 [[확률 변수]]의 [[함수 (수학)|함수]]가 어떤 양수 [[수학 상수|상수]] 이상일 [[확률]]에 대한 [[상계]]를 제시한다. 단, 이 함수는 음이 아니어야 한다. 마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 [[안드레이 마르코프]]의 이름에서 따온 것이다.
 
== 설명 ==
 
[[측도 이론]]의 언어로 보면 마르코프 부등식은 이런 뜻이다. (''X'',&Sigma;,&mu;)가 [[측도 공간]]이고 ''f''는 [[가측 함수|잴 수 있는]] [[확장된 실수]]값 함수이고 ''t'' > 0이면
<!--
In the language of [[measure theory]], Markov's inequality states that if (''X'',&Sigma;,&mu;) is a [[measure space]], ''f'' is a [[measurable function|measurable]] [[extended real number line|extended real]]-valued function, and ''t'' > 0, then
:<math> \mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.</math>
특별한 경우로 측도가 1인 공간(확률 공간)에서는 이렇게 말할 수 있다.
For the special case where the space has measure 1 (i.e., it is a probability space), it can be restated as follows: if ''X'' is any random variable and ''a'' > 0, then
-->
''X''가 확률 변수이고 ''a'' > 0일 때
:<math>\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.</math>
 
=== 일반적인 경우: 측도 이론 ===
 
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For any measurable set ''A'', let 1<sub>''A''</sub> be its [[indicator function]], that is, 1<sub>''A''</sub>(''x'') = 1 if ''x'' &isin; ''A'', and 0 otherwise. If ''A''<sub>''t''</sub> is defined as ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' &isin; ''X''| |''f''(''x'')| &ge; ''t''}, then