마르코프 부등식: 두 판 사이의 차이

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23번째 줄:
:<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|.\,</math>
 
이고,
이다. 따라서
 
:<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|).\,</math>
 
이다. 이제이며 부등식 왼쪽이 아래 식과 같으므로
 
:<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a).\,</math>
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=== 일반적인 경우: 측도 이론 ===
 
가측 집합 ''A''에 대해서 1<sub>''A''</sub>를 ''A''의 [[정의 함수]]라 하자. 다시 말해서 ''x'' &isin; ''A''일 때 1<sub>''A''</sub>(''x'') = 1이고, 다른 경우에는 0이다.
<!--
For any measurable set ''A'', let 1<sub>''A''</sub> be its [[indicator function]], that is, 1<sub>''A''</sub>(''x'') = 1 if ''x'' &isin; ''A'', and 0 otherwise. If ''A''<sub>''t''</sub> is defined as ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' &isin; ''X''| |''f''(''x'')| &ge; ''t''}로 정의되면, then
 
:<math>0\leq t\,1_{A_t}\leq |f|1_{A_t}\leq |f|.</math>
 
따라서,
Therefore
 
:<math>\int_X t\,1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t}|f|\,d\mu\leq\int_X |f|\,d\mu.</math>
 
이제 이 부등식의 왼쪽이 다음 식과 같다는 것을 생각하면,
Now, note that the left side of this inequality is the same as
 
:<math>t\int_X 1_{A_t}\,d\mu=t\mu(A_t).</math>
 
따라서 다음 식을 얻고,
Thus we have
 
:<math>t\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq \int_X|f|\,d\mu,</math>
 
''t'' > 0이므로 양변을 ''t''로 나누어 다음 식을 얻을 수 있다.
and since ''t'' > 0, both sides can be divided by ''t'', obtaining
 
:<math>\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X|f|\,d\mu.</math>
-->
[[Q.E.D.]]