페르마 두 제곱수 정리: 두 판 사이의 차이
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잔글 math<> : (mod p)의 모양이 맞지 않아 \pmod{p} 로 고침 |
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오일러가 처음 제시한 증명은 [[무한강하법]]을 이용하는 것이었으나, 현재까지 제시된 이 정리의 증명 중에서는 비교적 복잡하다. 여기서는 [[투에의 보조정리]]를 이용한 증명을 제시한다.<ref name="a"/>
4k+1 꼴의 소수 p에 대해서는 -1이 [[이차 잉여]]가 되므로, <math>a^2 \equiv -1
(a, p) = 1이므로, 투에의 보조정리에 따라서, [[합동식]] <math> ax \equiv y \pmod{p}</math> 와 <math>0 < |x|, |y| < \sqrt{p}</math> 을 만족하는 정수 x, y가 존재한다.
: <math>y^2 \equiv (ax)^2 \equiv -x^2 (mod p)</math>▼
그러므로,
이므로 적당한 정수 r에 대해 <math>x^2 + y^2 = rp</math> 이 된다. 그런데 x, y의 조건에 의해 이를 만족하는 r은 1뿐이다.
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