단조함수: 두 판 사이의 차이

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:<math>f: X \to Y</math>인 함수 <math>f</math>에 대해, <math>x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2</math>인 모든 <math>x_1, x_2</math>에 대해 항상 <math>f(x_1) < f(x_2)</math>가 성립한다.
일반적인 단조 함수는 함수값이 증가하거나 감소하지 않는 경우(<math>x_1<x_2</math>, <math>f(x_1)=f(x_2)</math>)가 허용되지만, 강한 단조 함수는 항상 증가하거나 항상 감소한다.
 
== 미분과 단조성 ==
[[미분]]은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다. 일반적으로, 단조성에 관한 다음과 같은 [[필요충분조건]]을 얻을 수 있다.
 
* 어떤 [[구간]]에서 미분가능한 함수 f가 단조 증가(또는 감소)일 필요충분조건은 f'≥0(또는 f'≤0)인 것이다.<ref name="a">Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 220-221쪽.</ref>
 
또한, 강단조성에 관해서 다음과 같은 충분조건이 성립한다.
 
* 어떤 구간에서 미분가능한 함수 f가 강증가(또는 감소)일 충분조건은 f'>0(또는 f'<0)인 것이다.<ref name="a"/>
 
그러나 이 경우 역은 성립하지 않는다. 예로, f(x) = x³은 강증가 함수이지만, x = 0에서 그 미분계수는 0이기 때문이다. 한편, [[연속함수]]가 아니거나 미분가능하지 않은 단조 함수도 있는데, 이 경우 그러한 성질을 갖는 곳은 다음 두 정리로 상당히 제한된다.
 
* 어떤 구간에서 단조함수의 불연속점은 많아야 [[가산집합|가산]] 개 존재한다.<ref>Walter Rudin (1976), ''Principles of Mathematical Analysis'', McGraw-Hill, p. 96.</ref>
* ([[르베그 미분가능성 정리]]) 어떤 구간에서 단조함수의 미분불가능점은 많아야 [[영측도]]이다.
 
== 주석 ==
{{reflist}}
 
[[분류:함수해석학]]

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