유계 집합: 두 판 사이의 차이
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{{다른 뜻|유계 (1607년)||조선의 문신}}
[[파일:Bounded unbounded.svg|thumb|유계인 집합과 유계가 아닌 집합]]
어떤 [[집합]]이 '''유계'''(有界, bounded)라는 것은 그 집합이 유한한 영역을 가진다는 의미이다. 유계는 [[거리공간|거리]]가 정의되었을 때 의미를 가지며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.
== 일반적인
[[순서체]] F의 부분집합 S가 모든 x ∈ S에 대해 x < z 인 어떤 z ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 '''위로 유계'''(bounded from above)라 정의한다. 그리고 모든 x ∈ S에 대해 x < z 인 F의 원소 z를 '''상계'''
마찬가지로, [[순서체]] F의 부분집합 S가 모든 x ∈ S에 대해 x > z 인 어떤 z ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 '''아래로 유계'''(bounded from belof)라 정의한다. 그리고 모든 x ∈ S에 대해 x > z 인 F의 원소 z를 '''하계'''(lower bound)라 한다.
== 실수에서의 정의 ==
집합 S ⊂ '''R''' 가 모든 s ∈ S에 대해 s ≦ b 인 어떤 b ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 '''위로 유계'''라 정의하고 b를 '''상계'''라 한다. 그리고 모든 다른 상계 b에 대해 b<sub>0</sub> ≦ b를 만족하는 상계 b를 [[최소상계]]라 한다. 마찬가지로, 집합 S ⊂ '''R''' 가 모든 s ∈ S에 대해 s ≧ b 인 어떤 b ∈ F가 존재함을 만족하면, S를 '''아래로 유계'''라 정의하고 b를 '''하계'''라 한다. 그리고 모든 다른 하계 b에 대해 b<sub>0</sub> ≧ b를 만족하는 상계 b를 [[최대하계]]라 한다.
== 거리공간에서의 정의 ==
[[거리공간]] <math>(M, d)</math> 위에 집합 <math>S</math>가 있을 때, 유한한 반지름을 가진 [[공 (수학)|공]]이 존재하여 그 집합을 포함한다면 그 집합은 '''유계'''이다.
만약 <math>M</math>이 유계라면 그 공간은 '''유계 공간'''으로 부른다. [[완전 유계 공간]]은 유계 공간이다.
== 같이보기 ==
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