에너지 등분배법칙: 두 판 사이의 차이

'''에너지 등분배법칙'''(''energy equipartition law'')은 [[통계역학|고전 통계역학]]에서 중요하게 여겨지는 법칙으로, [[열평형]] 상태에 있는 [[계 (물리학)|계]]의 모든 [[자유도]]에 대해 계가 가질 수 있는 평균 에너지가 같다는 원리이다. 이를 좀 더 엄밀한 수학적인 표현으로 말하면 다음과 같다. “이차식 형태 에너지의 한 자유도에 대한 평균 에너지는 <math>{1 \over2}kT</math> 이다.”

 

'''에너지 등분배법칙'''(''energy equipartition law'')은 [[통계역학|고전 통계역학]]에서 중요하게 여겨지는 법칙으로, [[열평형]] 상태에 있는 [[계 (물리학)|계]]의 모든 [[자유도]]에 대해 계가 가질 수 있는 평균 에너지가 같다는 원리이다. 이를 좀 더 엄밀한 수학적인 표현으로 말하면 다음과 같다.

:“이차식 형태 에너지의 한 자유도에 대한 평균 에너지는 <math>{1 \over2}kT</math> 이다.”

 

주어진 계에 대한 양자 역학적 운동 방정식은 양자수가 매우 큰 경우에는 고전 역학적 운동 방정식과 어림으로 거의 같다는 것은 이미 잘 알려져 있다. 또한 양자 역학적 정준 분배 함수에서 아주 큰 양자 수에 해당하는 항들은 온도가 높아지면 더욱 중요해진다. 이런 사실로부터 양자 역학의 결과를 이용하여 얻은 계의 [[분배 함수]]는 충분히 높은 온도에서는 고전 역학을 이용하여 얻은 분배 함수와 거의 같을 것으로 기대할 수 있다. 따라서 미시적인 세계에 거시적인 세계를 에너지의 관점에서 설명할 수 있는 적절한 논리가 필요했다.

 

플랑크가 사용한 자신의 논문에서 사용한 방법으로 훗날의 보즈-아인슈타인 통계에 해당하는 통계적 방법은 사실 당시의 기준으로 보면 아주 애매한 것이었다. 즉 미국의 깁스가 다루었던 에너지 등분배 원리는 1902년 이후에나 분명하게 과학자들 사이에서 인식되었던 것이다. 따라서 에너지 등분배 원리가 분명하게 확립되지 않은 상태에서 플랑크가 사용했던 통계적 방법은 현재 우리가 알고 있는 것과 완전히 동일한 것이라고는 하기 어렵다. 바로 이런 점에서 플랑크는 새로운 양자물리학의 포문을 연 선구자임에도 불구하고 태생적으로 보수적 한계를 드러내고 있는 것이다. 이에 에너지 등분배 원리는 고전적 역학의 세계와 고전 통계 역학, 양자 역학의 세계를 어느 정도 동일한 맥락에서 설명할 수 있어 일반적으로 널리 적용될 수 있었다.

 

계(''system'')라는 것은 열역학적인 논의의 대상이 되는 어떤 물질을 의미한다. 자유도(''degree of freedom'')는 계 내부의 입자가 가지고 있는 에너지의 한 형태를 말한다. 즉, 병진 운동의 경우 삼차원에서는 세 방향으로 움직이면서 운동하기 때문에 관련된 자유도는 3이라고 할 수 있다.<ref name=autogenerated1>David R. Gaskell 저, 민동준 외 공역, 『재료열역학』, 홍릉과학출판사, 2009.</ref>

 

내부에너지는 계가 가지고 있는 미시적인 에너지 형태의 합이라고 할 수 있다. 내부에너지를 구성하고 있는 요소는 다음과 같이 다양하다. 기체분자가 어떤 속도로 공간을 운동할 때, 어느 정도의 운동에너지를 갖고 있다. 이것을 병진 에너지라고 한다. 다원자 분자의 원자들은 축을 중심으로 회전하는데, 이러한 회전에 관련된 에너지는 회전 운동에너지이다. 다원자 분자의 원자들은 공통의 질량중심에 관하여 진동하는데, 이러한 전후진 운동과 관련된 에너지는 진동 운동에너지이다. 기체에서 대부분의 운동에너지는 주로 병진과 회전운동에 기인하며 고온에서 진동에너지가 중요해진다. 원자 내의 전자는 핵을 중심으로 회전하므로 회전 운동에너지를 가지며, 바깥쪽 궤도의 전자들은 더 큰 운동에너지를 갖는다. 또한 전자들은 자신의 축을 중심으로 회전하는데, 이러한 운동과 관련된 에너지는 회전에너지이다. 원자의 핵에 있는 다른 입자들도 회전에너지를 갖는다. 분자들의 운동에너지와 연관된 계의 내부에너지 일부를 [[현열 에너지]](''sensible energy'')라고 한다. 분자의 평균속도와 활동도의 정도는 기체의 온도에 비례한다. 따라서 고온에서 분자는 높은 운동에너지를 가지며, 그 결과 계는 높은 내부에너지를 갖는다.<ref name=autogenerated3>임경희 저, 『통계 열역학』, ㈜한티미디어, 2008.</ref>

 

이미 논의한 에너지의 형태는 계의 모든 에너지를 구성하는데, 계 내에 담아지거나 저장될 수 있어서 정적 에너지로 생각할 수 있다. 계에서 저장되지 않는 에너지의 형태는 동적 에너지 또는 에너지 상호작용으로 볼 수 있다. 동적 에너지는 에너지가 계의 경계를 통과할 때 계의 경계에서 인지되며, 이 에너지는 과정 동안 계가 얻거나 잃은 에너지를 나타낸다. 밀폐된 계와 연관된 에너지 상호작용의 두 가지 형태는 [[열전달]](''heat transfer'')과 [[일]](''work'')이다. 구동력이 온도차이이면 에너지 상호작용은 열전달이고, 그렇지 않으면 일로 나타난다. 질량이 계로 또는 계로부터 전달될 때, 질량이 함유하는 에너지도 함께 전달되기 때문에 검사체적은 질량전달로 에너지를 교환할 수 있다.

 

앞에서 정의한 바에 의하면 내부에너지는 계의 미시적인 상태의 모든 에너지의 합이며 에너지 등분배 원리에 의하면 이러한 에너지 형태들 중 이차항으로 표현되는 것은 동일한 크기의 에너지를 가지고 있어야 한다고 했다. 다시 말해 등분배 원리가 모든 계에 적용되는 것은 아니다. 이 원리는 에너지가 <math>E(q)=cq^2</math>의 형태로 표시된 계에만 적용된다. 여기서 <math>c</math>는 상수계수이고, <math>q</math>는 <math>x</math>, <math>P _{x}</math> 또는 <math>L _{x}</math>와 같은 좌표 또는 운동량을 나타내는 변수이다. 이 단일 자유도를 하나의 계로 취급하고 계가 온도 <math>T</math>

의 열원과 평형상태에 있다고 가정하여 평균에너지 <math>\bar{E}</math>을 계산하면 자유도 당 분배되는 에너지의 크기를 알 수 있다. 분배 함수를 이용해서 평균에너지를 구하면 다음과 같다, 우선 분배함수는 [[볼츠만 인자]] <math>\beta = {1 \over kT}</math>로 다음과 같이 표현할 수 있다.<ref name=autogenerated2>Daniel V. Schroeder 저, 김승곤 외 공역, 『열 및 통계 물리학』, 홍릉과학출판사, 2001.</ref>

이 공식은 고전 통계 역학에서 뛰어난 설명력을 가지고 있지만 양자 역학적으로 치명적인 한계가 있기 때문에 많은 논쟁의 대상이 되었다.

 

 

[[파일:Bose Einstein condensate.png|thumb|left|225px| 미시적인 상태수의 3차원 모형 ]]

앙상블과 상태수의 개념을 통해서 열역학, 통계역학에서는 확률적으로 미시적인 상태의 현상을 해석할 수 있고 또한 맥스웰-볼츠만 분포의 정량적인 방법도 모두 앙상블과 상태수를 기초로하여 이끌어 냈다는데 중요한 의미가 있다.

 

열역학, 통계역학에서 중요한 공리는 [[에르고드성]]([[ergodicity]])에 있다. 이 공리는 매우 작은 미시적인 상태에 대한 직관적인 통찰과 합리적인 설명을 가능하게 한다. 에르고드성은 미시적인 하나의 입자들이 엄청난 수로 모인 집합체, [[모듬]]([[ensemble]])에 대한 개념을 알아야 비로소 받아들일 수 있다.

모듬은 엄청난 숫자의 계(하나의 입자를 하나의 계라고 생각해도 될 경우)를 모아놓은 가상의 집합을 말한다. 이 때 계는 우리가 주목하는 특정한 열역학 계를 모사한 것이다. 다시 말하면 모듬은 거시적으로 계를 규정하는 모든 가능한 미시 상태의 집합이다. 즉, 모듬이라는 집합을 구성하는 원소들의 수가 앞에서 설명한 상태수일 것이다. 모듬이라는 개념의 장점은 시간에 따른 계의 상태 변화를 따라갈 필요 없이 계의 정지 상태(stationary state)만을 고려하면 된다는 것이다.

[[열역학 제 2법칙]]은 자연의 모든 상호작용은 [[엔트로피]]가 증가하는 방향으로 일어난다고 말한다. 이 때 로그 함수는 증가함수이기 때문에 자연스럽게 상태수 역시 모든 상호작용에서 증가해야한다는 결론을 내릴 수 있다. 이는 확률적으로 가장 높은 미시 상태에 에너지가 분포한다는 것인 에너지 등분배 법칙에 따르면 바로 그러한 상태로 에너지가 각각의 자유도에 나누어진다는 것이다.

 

 

[[파일:Fcc lattice 4.JPG|thumb|left|300px| 강한 결합력으로 모양을 유지하고 있는 물질 ]]

실험을 통해서 일정한 온도에서 물질이 변하게 되는 것을 관찰 할 수 있는데 이 때 사용된 열을 [[잠열]]([[latent heat]]) 또는 숨은열이라고 한다. 이 때 관찰 결과를 그래프로 그리게 되면 상태 변화가 일어나는 구간에서는 온도가 변하지 않고 수평선을 그리게 된다. 이 구간에서는 두 가지 상태가 공존하게 된다. 이 때 상태 변화의 종류에 따라서 숨은열에 고유한 이름이 붙게 되는데 고체에서 액체로 상태가 변화할 때 [[융해열]], 액체에서 고체로 상태가 변화할 때 [[응고열]]이라 부른다. 또한 액체에서 기체로 상태가 변화할 때 기화열, 반대의 경우 [[액화열]]이라고 부른다. 특이하게 고체에서 기체로, 기체에서 고체로 바로 변하는 경우 이를 [[승화열]]이라고 한다.<ref>장길홍 저, 『알기 쉬운 열의 세계』, 보성각, 2009.</ref>

 

[[파일:DiatomicSpecHeat1.png|thumb|250px|right|이원자 분자의 비열의 변화]]

 

즉, 온도가 오르지 않는 구간에서는 <math>T</math> 는 일정하지만 자유도 <math>\nu</math>가 증가한다는 것이다. 이는 온도가 일정한 구간을 정성적으로 설명해 줄 수 있다. 따라서 에너지 등분배 법칙에 따르면 상태 변화는 자유도가 증가하는 구간이라고 해석할 수 있다. 예를 들어 이원자 분자의 경우 저온에서는 3차원 축을 기준으로 병진 운동하지만 온도가 상승하면 회전 운동 그리고 원자 간의 진동 운동이 일어나 자유도가 증가하게 된다. 이는 고전 통계 역학에서 에너지 등분배법칙이 비열의 변화라는 현상으로 어느 정도 잘 설명해 주고 있다는 것을 증명하는 사례이다.

 

이상기체의 내부에너지를 구하기 위해서 평균 에너지 식을 살펴보면 다음과 같다.

 

이 때 <math>N</math>, <math>k</math>, <math>T</math> 는 각각 계의 입자 수, 볼츠만 상수, 절대 온도이다. 따라서 측정 가능한 변수 또는 이미 주어진 상수이기 때문에 실제 열적 상황에서 얻은 수 있는 물리량이다. 하지만 의 경우 자유도는 분자의 구조에 따라서 달라지기 때문에 계산을 통해 구해야 한다.

 

단원자 이상 기체 분자의 경우 병진 운동만 하게 된다. 매우 높은 온도의 경우 미세 진동을 통해서 진동 운동에 의한 에너지가 있지만 일반적인 경우 삼차원 공간에서 병진 운동을 하는 것이 일반적이다. 이 때 단원자 기체 분자 1개의 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

<math>\bar{E} _{mono} = {3 \over 2} kT</math>

 

이원자로 된 이상 기체 분자는 회전 운동 에너지를 갖게 된다. 이 때 회전 운동에 대한 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

여기에서 한 가지 중요한 사실을 언급하면 다음과 같다. 각각의 자유도에 대해 2차 항으로 주어지는 운동량 변수의 계수들은 중요하지 않다는 것이다. 이는 수학적으로 '''''2.3'''''에서 언급한 식을 보면 볼츠만 인자를 제외한 다른 상수들은 계산을 통해서 상쇄된다는 것을 확인할 수 있다.

 

에너지 등분배 법칙은 탄성 충돌을 한다고 가정한 기체 분자들의 운동과 에너지를 수식으로 설명할 수 있다는 것에서 고전 통계학을 집대성할 수 있었던 원동력으로 평가된다. 또한 미시적인 세계와 거시적인 세계를 동시에 설명할 수 있는 원리로 에너지 등분배 법칙을 통해서 [[보일]], [[샤를]]의 법칙을 통합한 [[이상기체 상태 방정식]], 이상기체의 분배 함수가 정의될 수 있었다. 즉, 에너지 등분배 법칙이 없었다면 열역학과 통계역학의 수학적인 발전은 정체되었을 것이다.

 

 

[[파일:Bohr-atom-PAR.svg|thumb|left|225px| 불연속적인 에너지 준위 ]]

 

 

* Daniel V. Schroeder 저, 김승곤 외 공역, 『열 및 통계 물리학』, 홍릉과학출판사, 2001.

* David R. Gaskell 저, 민동준 외 공역, 『재료열역학』, 홍릉과학출판사, 2009.

* 장길홍 저, 『알기 쉬운 열의 세계』, 보성각, 2009.

 

<references/>

 

 

[[분류:통계역학]]

[[분류:열역학]]

 

{{Link FA|en}}